Kurvenintegral

19.06.2016, 15:07	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral Hallo, mir sind die Kurvenintegrale noch nicht so ganz klar, darum hier gleich ein Beispiel im Anhang. Also wir haben ein Skalarfeld $\begin{eqnarray} f(\vec r) \end{eqnarray}$ geben, d.h. jeder Punkt des Raumes ist einen bestimmten Wert zugewiesen, jedoch keine Richtung, da es ja ein Skalarfeld ist. Ich verstehe noch nicht so recht den Zusammenhang zwischen Feld, Kurve und ihrer Parametrisierung. 1. Ist $\begin{eqnarray} f(\vec r)=xyz \end{eqnarray}$ in dem Fall meine Skalarfeld-Funktion? Also man Skalarfeld wird durch diese Funktion erstmal beschrieben? 2. D.h. es ergibt auch überhaupt keinen Sinn solche Funktionien zu zeichnen, da diese ja einfach alle Punkte im dredimensionalen Raum trifft. 3. Nun kann man Kurven C in diesen Raum malen und alle Punkte der Kurve haben Werte der Skalarfeld-Funktion $\begin{eqnarray} f(\vec r) \end{eqnarray}$ , richtig? 4. In dem Fall haben wir eine Kurve C gegeben, die durch k(t) parametrisiert wird, d.h durch die Parametrisierung kann man die leicht zeichnen lassen. In unserem Fall ist das eine Spirale, die eben in diesem Raum ist. 5. Was bedeutet nun ein sog. Wegintegral berechnen? Wie kann ich mir das vorstellen? Ich würde mich freuen, wenn ihr zu jedem Punkt etwas sagen könnte, obs richtig oder falsch ist! Gruß Abstract
20.06.2016, 13:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage 5: Was bedeutet das Wegintegral? Was kann ich mir darunter vorstellen? Antwort: In der Schule haben wir gelernt: $\begin{eqnarray} \underbrace{\text{Arbeit}}_{W} = \underbrace{\text{Kraft} \cdot \text{Weg}}_{F\cdot s}=\underbrace{\text{Kraft}\cdot \text{Geschwindigkeit} \cdot \text{Zeit}}_{F\cdot v \cdot t} \end{eqnarray}$ Diese Formeln gelten aber nur, wenn die Kraft und die Geschwindigkeit entlang des Weges konstant sind. Ändern sich beide Größen entlang des Weges, so kann man die obigen Formeln mittels Integralrechnung wie folgt verallgemeinern: $\begin{eqnarray} W=\int F\,ds=\int F\cdot \underbrace{\tfrac{ds}{dt}}_v\,dt \end{eqnarray}$ In deiner Aufgabe ist die Kraft gegeben durch $\begin{eqnarray} F=xyz \end{eqnarray}$ . Da diese Kraft von allen 3 Koordinaten abhängt, ändert sie sich entlang des Weges. Du sollst berechnen, welche Arbeit man verrichtet, wenn man entlang der Schraubenlinie $\begin{eqnarray} \vec x=(R\cdot \cos(t)\|(R\cdot \sin(t)\|ct) \end{eqnarray}$ gegen die obige Kraft voranschreitet.
20.06.2016, 19:21	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ok danke. D.h. Parameterdarstellung k und Skalarfeldfunktion f hängen Im allgemeinen immer zusammen? In unserem fall so, dass f(k) genau die Kraft an einem Punkt ergibt. Wie kommt man auf die parameterdarstellung, wenn nur die Function gegeben ist? Oder geht das nur umgekehrt?
21.06.2016, 08:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Aufgabe ist ein Prototyp für die Berechnung von Kurvenintegralen 1.Art. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Der Weg (=Schraubenlinie) ist als Parameterdarstellung gegeben: $\begin{eqnarray} \vec x(t)=\begin{pmatrix} R\cdot \cos(t) \\ R\cdot \sin(t) \\ ct \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ __________(Formel (1) Der Geschwindigkeitsvektor ist bekanntlich die 1.Ableitung der Schraubenlinie (=Weg) nach der Zeit, also $\begin{eqnarray} \underbrace{\tfrac{d\vec x}{dt}}_{\vec v}=\begin{pmatrix} -R\cdot \sin(t) \\ R\cdot \cos(t) \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ __________(Formel (2) Der Betrag dieses Geschwindigkeitsvektors ist also $\begin{eqnarray} \underbrace{\left \|\tfrac{d\vec x}{dt}\right \|}_{\|\vec v\|}=\sqrt{R^2\sin^2(t)+R^2\cos^2(t)+c^2}=\sqrt{R^2+c^2} \end{eqnarray}$ __________(Formel (3) Damit kannst du die Arbeit entlang der Schraubenlinie leicht berechnen. Diese Arbeit ist das Integral $\begin{eqnarray} W=\int_{-\pi}^{+\pi} \underbrace{xyz}_{\text{Kraft}}\cdot \underbrace{\left \|\tfrac{d\vec x}{dt} \right \|}_{\text{Geschwindigkeit}}\,dt \end{eqnarray}$ __________(Formel (4) Setze hier die 3 Komponenten x, y, z aus Formel (1) in die Kraft xyz sowie die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \left \|\tfrac{d\vec x}{dt}\right \| \end{eqnarray}$ aus Formel (3) ein und integriere alles über die Zeit t ab. Die Größen R und c sind Konstanten.
21.06.2016, 16:54	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja schon, aber wenn Skalarfeldfunktion $\begin{eqnarray} f(\vec x)=xyz \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} \vec x(t)=\begin{pmatrix}%20R\cdot%20\cos(t)%20\\%20R\cdot%20\sin(t)%20\\%20ct%20\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ der Ort an der die Kraft ... groß ist und mit $\begin{eqnarray} f(\vec x) \end{eqnarray}$ rechne ich mir dann die Kraft im Ort $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ . Richtig? Also meine Aufgabe dient ja nur zur Veranschaulichung, denn wenn man wirklich die Kraft berechnen will, dann halt nicht aus xyz, sondern halt einfach anders, darum würde man dann einfach eine Funktion brauchen, die mir die Kraft ermittelt, wenn ich dieser den Ortsvektor in die Funktion schicke. Stimmts?
22.06.2016, 12:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In deiner speziellen Aufgabe ist die Kraft das Produkt der 3 Koordinaten, also f=xyz. Das ist die von dir gesuchte Kraftfunktion!!! Bei anderen Aufgaben sieht diese Kraftfunktion natürlich anders aus, aber in jedem Falle hängt sie von den 3 Koordinaten x,y,z ab oder ist konstant. Um in deinem Falle die konkrete Kraft zu berechnen, muss man also die Komponenten des Ortsvektors $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} R\cos(t) \\ R\sin(t) \\ ct \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einsetzen und erhält am Ort (x,y,z) die Kraft $\begin{eqnarray} f=R^2\cdot ct\cdot \underbrace{cos(t)\cdot \sin(t)}_{\tfrac{1}{2}\cdot \sin(2t)} \end{eqnarray}$
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22.06.2016, 20:43	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich verstehs, aber für alle Kurvenintegrale mit Skalarfeder f, dessen Parametrisierung $\begin{eqnarray} \vec r(t) \end{eqnarray}$ ist, gilt: $\begin{eqnarray} \int_a^b f(\vec r(t))\cdot \|\frac{d\vec r}{dt}\| dt \end{eqnarray}$ Richtig? Und f ist immer meine Skalarfeldfunktion, d.h. diese liefert mir einen bestimmten Wert(Kraft oder was auch immer) an gewissen Orten (x,y,z), richtig? Wenn das stimmt, hab ichs verstanden denk ich. -------------------- Wenn jetzt jedoch ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec F(\vec r) \end{eqnarray}$ gegeben ist und ich habe eine irgendeine Kurve im Raum, sagen wir wieder diese Schraubenlinie $\begin{eqnarray} \vec r(t) \end{eqnarray}$ . Dann gilt folgendes: $\begin{eqnarray} \int_a^b \vec F(\vec r(t)) \cdot \frac{d \vec r}{dt} dt \end{eqnarray}$ Ich nehme an die Vektorfeldfunktion $\begin{eqnarray} \vec F(\vec r) \end{eqnarray}$ liefert mir z.b. die Kraft(oder was auch immer) an einem Ort (x,y,z) jedoch diesmal Betrag & Richtung dieser Kraft. Ahh ok, d.h. am Ende habe ich dann die gesamten Arbeit/Energie die verrichtet wurde mit einem gewissen Betrag und einer gewissen Richtung?
23.06.2016, 08:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es.

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