Lineare Abbildungen und Basen

20.06.2016, 17:09	Dandelion	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen und Basen Meine Frage: Es sei V ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorraum mit der Basis $\begin{eqnarray} B:=\left\{ v_{1},...,v_{5}\right\} \end{eqnarray}$ und W ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorraum mit der Basis $\begin{eqnarray} c:=\left\{ w_{1},...,w_{4}\right\} \end{eqnarray}$ , sowie f: V->W diejenige $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -lineare Abbildung, für die gilt: $\begin{eqnarray} f(v_{1} )=w_{2}-w_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(v_{2} )=w_{4}-w_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(v_{3} )=w_{4}-w_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(v_{4} )=w_{3}-w_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(v_{5} )=w_{4}-w_{3} \end{eqnarray}$ a) Man bestimmte die Abbildungsmatrix M bzgl. der $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Basen B und C. b) Man gebe jeweil eine $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Basis vom Kern(f) bzw. Bild(f) an. Ist f injektiv? ist f surjektiv? Meine Ideen: zu a) Mein Ansatz hierzu wäre: $\begin{eqnarray} f(v_{j} )=\sum\limits_{i=1}^{4} a_{ij}w_{i} \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} f(v_{1})=-1w_{1}+1w_{2}+0w_{3}+0w_{4} ; f(v_{2})=... \end{eqnarray}$ ich mache das also für alle anderen analog und dann schreibe ich meine Darstellungsmatrix wie folgt auf: $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 &-1&0\\ 1 & -1 & 0&0&0 \\ 0 & 0 & 0&1&-1\\ 0&1&1&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre das so richtig? zu b) Hier habe ich zunächst den Kern(f) bestimmt, indem ich das homogene GLS M=0 gelöst habe. Nach dem Gauß sieht meine Matrix wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 &-1&0\\ 1 & -1 & 0&0&0 \\ 0 & 0 & 0&1&-1\\ 0&1&1&0&1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 &-1&0\\ 0& -1 & -1&-1&0 \\ 0 & 0 & 0&1&-1\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ somit habe ich unendlich viele Lösungen für das lineare Gleichungssystem und für den Kern(f) erhalte ich: $\begin{eqnarray} Kern(f):=\left\{ a\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0\\1\\1 \end{pmatrix} +b\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1\\0\\0 \end{pmatrix}, a,b\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ da die zwei Vektoren $\begin{eqnarray} \left(-1,-1,0,1,1\right)^{T} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(-1,-1,1,0,0\right)^{T} \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind, sind diese 2 Vektoren meine Basis des Kerns. Ist das so richtig? Das Bild(f) ist ja das Erzeugnis der Spaltenvektoren von M, also: $\begin{eqnarray} Bild(f):=\left\{ a\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} +b\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0\\1 \end{pmatrix} +c\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix} +d\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix} +e\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1\\1 \end{pmatrix};a,b,c,d,e\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ und da ich durch den Gauß bei der Bestimmung des Kerns 3 Nicht-Null-Zeilen habe ist die Dimension des Bildes 3 und ich benötige nun 3 linear unabhängige Vektoren aus der Menge der Spaltenvektoren von M die dann eine Basis von Bild(f) bilden? Wäre das so richtig?
22.06.2016, 12:36	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen und Basen Ich würde bisher allem zustimmen. Eine Basis des Spaltenraums von M ist nun ablesbar aus der Zeilenstufenform, die bei Berechnung des Kerns erzeugt wurde.
22.06.2016, 14:39	dandelion	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich daraus eine Basis ablesen?
22.06.2016, 14:47	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Man geht zeilenweise vor, die Spalte, in der jeweils der erste Eintrag ungleich Null steht, repräsentiert linear unabhängige Spaltenvektoren. Hier somit 1, 2 und 4.

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