Durch l'Hospital Beweis über Wachstum des ln x

20.06.2016, 17:39

noAhnung

Durch l'Hospital Beweis über Wachstum des ln x

Meine Frage:
Hallo Wink

Ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Benutzen Sie die Regeln von L'Hospital um zu zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} ln \ x \end{eqnarray*}$ langsamer als jeder Wurzelfunktion wächst. D.h. zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}(\frac{ln(x)}{\sqrt[n]{x}})=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun ist die ganze Sache ja eigentlich nicht ungeheuer schwer. Ich leite jedenfalls den Zähler und Nenner ab:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{(ln(x))'}{(\sqrt[n]{x}})' = \lim_{x \to \infty}(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}})= \lim_{x \to \infty} \frac{x^{-1}}{\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}} \end{eqnarray*}$

Und nun sieht man ja eindeutig, dass $\begin{eqnarray*} x^{-1}<\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} \end{eqnarray*}$ ? Oder nicht? Hammer

21.06.2016, 11:25

klauss

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RE: Durch l'Hospital Beweis über Wachstum des ln x
Zunächst sollte man bei l'Hospital nach jedem Schritt erstmal aufräumen:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{-1} }{x^{\frac{1}{n}-1 } } =x^{-1-\left(\frac{1}{n}-1 \right) } =... ? \end{eqnarray*}$

21.06.2016, 18:50

noAhnung

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Ja, das ergäbe dann $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ . smile