Grenzwert von (1+1/n)^n = e

20.06.2016, 17:39

Dr. Inkognito

Grenzwert von (1+1/n)^n = e

Hi, ich hab ne kurze Frage.

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

Wenn wir den Limes hier dran anwenden, dann hätte ich jetzt 1/n weggeschmissen, weil es null wird, $\begin{eqnarray*} 1^n \end{eqnarray*}$ bliebe übrig und das wäre letztendlich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Damit hätte ich gedacht, dass diese Folge gegen 1 konvergiert.
Aber anscheinend konvergiert diese Folge gegen die eulersche Zahl e (Laut Internetquellen).
Was mache ich hier für einen Denkfehler?

20.06.2016, 17:53

005

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RE: Wieso ist der Grenzwert dieser Folge e??
An allen Stellen, an denen n steht, geht n gegen unendlich. Und zwar gleichzeitig und nicht in zwei Schritten. Der Grenzwertsatz fuer Produkte ist nicht anwendbar, weil der bloss fuer Produkte mit einer festen (nicht von n abhaengigen) Zahl von Faktoren gilt.

20.06.2016, 18:11

Dr. Inkognito

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RE: Wieso ist der Grenzwert dieser Folge e??
Dann wäre also der Satz nicht "direkt" anwendbar auf $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ ?
Klar in dem Fall könnte ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^n} \end{eqnarray*}$ bauen und DANN sagen dass des ne Nullfolge ist, aber das müsste ich dann zuerst machen, bevor ich den Satz anwende?

20.06.2016, 19:02

005

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RE: Wieso ist der Grenzwert dieser Folge e??
Auf $\begin{eqnarray*} (1/n)^n \end{eqnarray*}$ laesst sich der Satz fuer den Grenzwert von Produkten auch nicht anwenden. Welchen Satz Du auf $\begin{eqnarray*} 1/n^n \end{eqnarray*}$ anwenden willst, hast Du nicht gesagt.

21.06.2016, 09:11

Dr. Inkognito

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RE: Wieso ist der Grenzwert dieser Folge e??
Könnte man dann sagen, 1/n ist ne Nullfolge und 1/n^n (für n -> unendlich) ist positiv und kleiner als 1/n , also 1/n^n wäre ebenfalls eine Nullfolge?

21.06.2016, 09:29

HAL 9000

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Ja, das ist ein Spezialfall des Sandwichkriteriums:

Zitat:

Ist $\begin{align*} a_n\leq b_n\leq c_n \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ und außerdem $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = g \end{align*}$ , so konvergiert auch $\begin{align*} (b_n) \end{align*}$ mit Grenzwert $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} b_n = g \end{align*}$ .

Also auch anwendbar, wenn $\begin{align*} a_n=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} (c_n) \end{align*}$ eine positive Nullfolge, wie etwa hier dein $\begin{align*} c_n=\frac{1}{n} \end{align*}$ und $\begin{align*} b_n=\left(\frac{1}{n}\right)^n \end{align*}$ .

21.06.2016, 13:12

Dr. Inkognito

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Alles klar, danke euch beiden smile

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