Markow-Ketten

20.06.2016, 18:15	Master1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Markow-Ketten Hi, ich tue mich leider mit einer Teilaufgabe etwas schwer, da ich mir das Thema gerade selber erarbeiten muss. Folgende Aufgabe (zusammengefasst): "Es gibt in der Mensa drei Gerichte an drei Ausgabepunkten A,B und C. Es gibt lange Wartezeit an einzelnen Aufgängen, daher möchte man die wartenden gleichverteilen, dazu gibt es "Freiessen Coupons" für den nächsten Tag an den Ausgabepunkten Nach Umfrage bleiben 157 bei A trotz Freiessen. 242 gehen von A nach B etc.." $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} & A & B & C \\ A & 157 & 242 & 314 \\ B & 234 & 34 & 112 \\ C & 54 & 43 & 503 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Zustandsübergangsmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} & A & B & C \\ A & 0,22 & 0,34 & 0,44 \\ B & 0,60 & 0,11 & 0,29 \\ C & 0,09 & 0,07 & 0,84 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) Irreduzibel? Ja, (da Graph stark zusammenhängend) und Aperiodisch? Ja, da $\begin{eqnarray} d(N_i) = 1 \end{eqnarray}$ c) stationäre Verteilung $\begin{eqnarray} v^T=(0.175,0.122,0.703) \end{eqnarray}$ d) Gibt es auf lange Sicht eine ungleichverteilung? Ja, denn $\begin{eqnarray} M^k \end{eqnarray}$ konvergiert gegen (circa) $\begin{eqnarray} M^k=\begin{pmatrix} v^T \\ v^T \\ v^T\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Frage erstmal: Bis hier hin richtig? Nun zum Problem e) Das Essen bei A Kosten 1,50 Euro bei 1,10 ProdKosten. Das Essen bei B Kosten 1,20 Euro bei 0,90 ProdKosten. Das Essen bei C Kosten 1,80 Euro bei 1,00 ProdKosten. Die Frage: "An welchen Aufgängen müssen täglich wieviele Freiessen für welchen Aufgang verteilt werden, damit sich langfristig eine gleichmäßige Verteilung der Personen auf die Aufgänge ergibt und dabei der Gewinn für die Mensa maximiert wird? Kann die Mensa mit dieser Strategie die bisherigen Preise für das Essen halten?" So jetzt hab ich so ein bisschen überlegt, aber da mir sehr viel wissen zu Markow Ketten fehlt bin ich etwas aufgeschmissen. Ich suche theoretisch nun alles vorige Rückwärts. Also ich will $\begin{eqnarray} M^k=\begin{pmatrix} v^T \\ v^T \\ v^T\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v^T=(1/3,1/3,1/3) \end{eqnarray}$ suche also ein M sodass $\begin{eqnarray} v^T \end{eqnarray}$ dies erfüllt. Daraus kann ich dann zurückrechnen wie viel Personen von wo nach wo müssen, oder? ... Ich weiß nur net so recht wie ich das machen soll. Mir kam der Satz von Bayes in den Sinn, aber so ein richtigen Ansatz hab ich noch nicht EDIT// Sollte wohl in Hochschulmathe ... hab ich mich verklickt .. bitte verschieben

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