Verständnisproblem beim Erwartungswert

21.06.2016, 16:06

Dukkha

Verständnisproblem beim Erwartungswert

Ich habe Mühe hier den $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ -ten Moment auszurechnen.

Sei $\begin{eqnarray*} (X_n,n\geq 1) \end{eqnarray*}$ eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen so dass $\begin{eqnarray*} \alpha>r>0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Zudem sei $\begin{eqnarray*} P(X_n=0)=1-\frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_n=n)=\frac{1}{n^\alpha} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Zeigen sie dass $\begin{eqnarray*} X_n\to 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^r \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$

Mein Vorgehen wäre $\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(|X|^r)=\int\limits_{0}^\infty nP(X_n=n)\mathrm{d}n =\int\limits_{0}^\infty (n P(X_n=n))^r\mathrm{d}n=\int\limits_{0}^\infty n^r\frac{1}{n^{\alpha+r}}\mathrm{d}n=\int\limits_{0}^\infty \left(\frac{n}{n^{\alpha}}\right)^r\mathrm{d}n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int\limits_{0}^\infty n^{-\alpha+r+1} \mathrm{d}n=\left[\frac{n^{-\alpha+r+2} }{-\alpha+r+2} \right]_{0}^\infty =1 \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht aber $\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(|X|^r)=n^{r-\alpha} \end{eqnarray*}$ was mache ich falsch?

Was mich sehr verwirrt, ist dass wir hier wieder eine Variable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben, obwohl wir ja den Erwartungswert berechnen.

21.06.2016, 16:18

HAL 9000

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Deine Riemannintegrale sind hier völlig daneben: $\begin{align*} X_n \end{align*}$ ist diskret verteilt, sogar nur auf den beiden Punkten $\begin{align*} 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} n \end{align*}$ . Dementsprechend ist

$\begin{align*} E\left(|X_n|^r\right) = |0|^r\cdot P(X_n=0) + |n|^r\cdot P(X_n=n) = n^r\cdot \frac{1}{n^{\alpha}} = n^{r-\alpha} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Dukkha
Was mich sehr verwirrt, ist dass wir hier wieder eine Variable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben, obwohl wir ja den Erwartungswert berechnen.

Sieht so aus, als hast du die Festlegung der Zufallsvariable $\begin{align*} X_{{\color{red}n}} \end{align*}$ überhaupt nicht verstanden - dann war das Weglassen des Index $\begin{align*} n \end{align*}$ oben bei dir wohl doch kein Versehen, wie ich erst gedacht hatte.

21.06.2016, 18:59

Dukkha

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Zitat:

Original von HAL 9000
Deine Riemannintegrale sind hier völlig daneben: $\begin{align*} X_n \end{align*}$ ist diskret verteilt, sogar nur auf den beiden Punkten $\begin{align*} 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} n \end{align*}$ . Dementsprechend ist

$\begin{align*} E\left(|X_n|^r\right) = |0|^r\cdot P(X_n=0) + |n|^r\cdot P(X_n=n) = n^r\cdot \frac{1}{n^{\alpha}} = n^{r-\alpha} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Dukkha
Was mich sehr verwirrt, ist dass wir hier wieder eine Variable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben, obwohl wir ja den Erwartungswert berechnen.

Vielen Dank für deine Antwort. Habe die Zufallsvariablen als stetig Zufallsvariablen betrachtet. Habe mir noch gedacht, warum keine Dichtefunktion angegeben wurde.

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