Steckbriefaufgabe e-Funktion

21.06.2016, 20:23

Len11235

Steckbriefaufgabe e-Funktion

Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe die ich zu lösen versuche.
Problem ist ich komme nicht weiter da wir dieses Thema momentan noch nicht
haben und ich versuche etwas vorzuarbeiten.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die reellen Zahlen für a,b,c im Term $\begin{eqnarray*} f(x) = (ax^2+bx+c)*e^- x \end{eqnarray*}$
der Funktion f so, dass $\begin{eqnarray*} G(f) \end{eqnarray*}$ an der Stelle 2 einen HP hat und die x-Achse im Koordinatenursprung berührt.

Mein Ansatz:
Naja also da wir noch absolut nichts über e-Funktionen gemacht haben sondern nur ganzrationale Steckbriefaufgaben kann ich nicht mehr sagen als $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} f' (0) = 0 \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} f' (2) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(2) < 0 \end{eqnarray*}$ sofern davon überhaupt was stimmt!

Bin über jede Hilfe dankbar

21.06.2016, 20:59

Bjoern1982

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Zitat:

Naja also da wir noch absolut nichts über e-Funktionen gemacht haben

...kann man auch nicht verlangen, dass du eine solche Aufgabe löst. Wink

21.06.2016, 21:01

Leopold

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Stimmt alles. Wobei die Bedingung $\begin{align*} f''(2)<0 \end{align*}$ hinreichend, aber nicht notwendig ist. Schau daher zunächst, was du aus $\begin{align*} f(0)=0, \ f'(0)=0, \ f'(2)=0 \end{align*}$ bekommst, und überlege dann weiter, inwiefern bei $\begin{align*} x=2 \end{align*}$ ein Hochpunkt vorliegt oder nicht.

21.06.2016, 21:21

Len11235

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

Naja also da wir noch absolut nichts über e-Funktionen gemacht haben

...kann man auch nicht verlangen, dass du eine solche Aufgabe löst. Wink

Naja, ich mache das ja aus reinem Interesse smile

Außerdem langweilen mich die ganzrationalen Funktionen zurzeit etwas da wir das bis zum abwinken gemacht haben.

Zitat:

Original von Leopold
[QUOTE]Stimmt alles. Wobei die Bedingung f&#8243 traurig

2)<0 hinreichend, aber nicht notwendig ist. Schau daher zunächst, was du aus f(0)=0, f&#8242 traurig

0)=0, f&#8242 traurig

2)=0 bekommst, und überlege dann weiter, inwiefern bei x=2 ein Hochpunkt vorliegt oder nicht.

Wie meinst du das? Inwiefern ein Hochpunkt vorliegt? so steht es ja in der Aufgabenstellung.

Also aufjedenfall muss ich ja die Allgemeine Form der 1. und 2. Ableitung bestimmen, mein Ansatz für die erste wäre:
$\begin{eqnarray*} f(x) = (ax^2+bx+c) * e^-x \end{eqnarray*}$
Aufgeteilt in $\begin{eqnarray*} u(x) = ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x) = e^-x \end{eqnarray*}$

Nun ableiten: $\begin{eqnarray*} u' (x) = 2ax + b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' (x) = -e^-x \end{eqnarray*}$

Produktregel -> $\begin{eqnarray*} f'(x) = (u'(x) * v(x)) + (u(x) * v'(x)) \end{eqnarray*}$
Wäre dann: $\begin{eqnarray*} f'(x) = ((2ax+b)*e^-x) + ((ax^2+bx+c) * (-e^-x)) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

21.06.2016, 22:31

Len11235

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Also das habe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (ax^2+bx+c) * e^-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = (ax^2-2ax+bx-b+c) * (-e^-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0) = c * e^-0 = c = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(0) = -b+c * (-e^-0) = b-c = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(2) = b+c * (-e^-2) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f'(2) = 0 \end{eqnarray*}$

Allerdings würde dieses Gleichungssystem für mich überhaupt keinen Sinn ergeben, ich bräuchte echt dringend irgendeinen Tipp verwirrt

22.06.2016, 23:25

Leopold

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Es fehlen Klammern. Richtig sind

$\begin{align*} (-b+c) \cdot \left( - \operatorname{e}^{-0} \right) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} (b+c) \cdot \left( - \operatorname{e}^{-2} \right) = 0 \end{align*}$

Der Exponentialteil ist ungleich 0 und fällt nach Division weg. Und somit hast du drei Bedingungen:

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ c=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ -b+c = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(3)} \ \ b+c = 0 \end{align*}$

Was heißt das für $\begin{align*} b \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ ? Welche Funktionen bleiben also noch übrig? Und welche von diesen haben den gewünschten Hochpunkt?

23.06.2016, 00:37

Len11235

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Stimmt die Klammern hinzuschreiben hatte ich vergessen.

Also wenn c = 0 ist und b + c ebenfalls = 0 dann ist b + 0 = 0 und somit b = 0

Also wären c und b beide 0... Also bleibt in f(x) und f'(x) nur der a-Teil relevant?

Dass c = 0 ist ergibt absolut Sinn da f(0) = 0 ist und das berechnet wird durch c*e^-0 und bei
b genau so...
Naja für die Punkte würde das jetzt bedeuten dass f(0)=0 in P1(0/0), f'(0)=0 auch in P2(0/0) und f'(2)=0 in P3 (2/0) liegt aber das wusste man doch schon alles vorher?

Mir erschließt sich nicht wie ich das Gleichungssystem mit den 3 Gleichungen bzw Bedingungen in den TR eintippen kann um an die Ausgangsfunktion zu kommen, tippe ich die 3 Bedingungen ein dann bekomme ich unendlich viele Lösungen für a b und c...

23.06.2016, 20:28

Len112356

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Kann vielleicht mal jemand den kompletten Lösungsweg Posten ich denke so wäre mir eher geholfen und dass ich solche Aufgaben dann nachvollziehen kann...
Alle paar Tage mal ein Tipp der nicht besonders aussagekräftig ist nützt mir nicht besonders viel

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