Bsp zu Lagrange-Multiplikatoren

21.06.2016, 21:32

Probability

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Bsp zu Lagrange-Multiplikatoren

Hallo,

hier muss man ja neue Funktion $\begin{eqnarray*} F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \phi(x,y) \end{eqnarray*}$ bilden

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ soll "extrem" werden und \phi(x,y)=0 ist die Nebenbedingung.

Zuerst bildet man ja die partiellen Ableitungen nach jeder Variable x,y und dem Lagrangeschen Multiplikator Lambda.

I: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial x}=0 \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial \phi}{\partial y}=0 \end{eqnarray*}$
III: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial \lambda} = \phi(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Dann kann ich nach x,y auflösen und habe halt dann mein Extremum dort, jedoch Lambda brauche ich nachher nicht mehr.

Das Zeil ist es die Exponenten der zwei Exponentialfunktionen in der Aufgabe so zu wählen, dass der Schnittwinkel bei 90° ist und die Fläche darunter minimal wird.

Aber wenn der Schlnittwinkel 90° fix ist, wie kann sich dann die Fläche da noch ändern? Da habe ich dann wieder einen anderen Schnittwinkel. Es gibt doch nur für einen Schnittwinkel eine Fläche, oder nicht?

Gruß
Probabilty

21.06.2016, 22:55

mYthos

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Es sind ja ZWEI Parameter, a, b, die sich unabhängig voneinander verändern können und demzufolge wird es auch viele Möglichkeiten für einen orthogonalen Schnittwinkel geben.
Daher braucht man auch ZWEI Bedingungen, die eine ist eben die Haupt- und die andere die Nebenbedingung.

HB: A ist maximal
NB: Der Schnittwinkel ist 90°

Hast du schon einen Ansatz?

mY+

22.06.2016, 16:30

Probability

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Danke.

Genau ich brauche NB und HB, dass verstehe ich.

Also ein Schnittpunkt von 2 Function hat man dann da, wenn die beiden Funktionswerte gleich sind. Aber wie mach ich das mit dem Winkel?

Für die Fläche könnte man integrieren. Also ein beatimmtes Integral bus zum schnittpunk und dann weiter bis der funktionswert wieder Null ist

22.06.2016, 17:50

mYthos

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Da wirst du Pech haben, denn die Funktionen schneiden die x-Achse nicht. Sie nähern sich ihr aber asymptotisch.
Also wird ein uneigentliches Integral (Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x_2 \to \pm \infty \end{eqnarray*}$ zu berechnen sein.
Das ist aber nicht weiter schwer, denn nach der Integration (rechts von x1 bis x2 bzw. links von x2 bis x1) ist der Grenzwert schnell zu ersehen.
Der erste Schnittpunkt der beiden Funktionen ist ja schon mit (0;1) gegeben (x1 = 0).
---------
Wenn der Schnittwinkel der beiden Graphen in diesem Punkt 90° ist, so bedeutet dies, dass das Produkt der beiden Steigungen in dem Punkt gleich -1 sein muss (warum?)

mY+

22.06.2016, 19:33

Probability

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Okay, danke.

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} A=\int_{-\infty}^{x_1}e^{ax} dx +\int_{x_1}^{\infty} e^{-bx} dx=\frac{e^{ax}}{a}-\frac{e^{-bx}}{b} \end{eqnarray*}$ wäre meine Hauptbedingung dann, stimmts?

Zur NB:
Das Produkt der Steigungen muss -1 ergeben? Also das einzige was mir dazu einfällt ist, dass das Standard-Skalarprodukt mit Vektoren der beiden Tangentialvektoren der Funktionen Null ergeben muss, dann stehen sie genau senkrecht aufeinander.

Das Problem ist aber, dass ich die Richtung der Vektoren nicht kenne.

22.06.2016, 21:10

mYthos

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Die kriegst du mittels der Ableitung. Der Richtungsvektor der Tangente in $\begin{eqnarray*} (x_0; f(x_0)) \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} (1; m)^T = (1; f'(x_0))^T \end{eqnarray*}$
Deshalb ergibt sich ja auch aus $\begin{eqnarray*} (1; m_1) \cdot (1; m2) = 0 \ \to \ 1 - m_1 \cdot m_2 = 0 \ \to \ m_1 \cdot m_2 = -1 \end{eqnarray*}$
--------
In deine Hauptbedingung musst du noch $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ einsetzen, dann passt sie.

mY+

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22.06.2016, 21:51

Probability

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D.h. Wenn ich eine Ortsvektor (x_0; f_1(x_0)) habe, dann zeigt der ja einfach vom Ursprung aus zu diesem Punkt, ist ja logisch. Und wenn ich diesen Vektor ableite, bekomme ich einen anderen Vektor (1;m_1), wobei m_1 die Steigung ist.

Aber warum ist das genau mein Tangentialvektor am Punkt (x_0; f_1(x_0))? Ergibt es Sinn, dass die Tangentialvektoren immer als x-Komponenten eine 1 stehen haben?

22.06.2016, 22:05

mYthos

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Es ist doch das Um und Auf der Differentialrechnung, dass die erste Ableitung in einem Punkt die Steigung der Tangente in diesem Punkt angibt.
Und wenn man das Steigungsdreieck eben in diesem Punkt ansetzt, hat es die Katheten 1 (x-Richtung) und m (y-Richtung) und diese bestimmen daher den Richtungsvektor der Tangente (in Richtung der Hypotenuse).

mY+

23.06.2016, 18:26

Probability

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Ahh, stimmt danke.

1. Was würde dann der Betrag des Tangentialvektores aussagen?

2. Warum x=0 setzen in der HB? Ich will doch die Fläche wisse n.

24.06.2016, 00:08

mYthos

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1.
Seine Länge

2.
Die Fläche hängt nicht nur von a, b, sondern auch von der Steigung im Punkt (0; 1) ab!
Und deswegen muss man den x-Wert des Punktes einsetzen, um die Steigung DORT festzulegen!

24.06.2016, 10:29

Probability

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Danke.

1. Ich hätte da vielleicht meine Frage spezifischieren sollen. Betrag eines Vektors ergibt seine Länge genau. Aber hat das auch eine nähere Bedeutung im Bezug eines Tangentialvektores? Oder nicht mehr?

2. Die Flächenformel lautet ja: $\begin{eqnarray*} A= \frac{e^{ax}}{a}-\frac{e^{-bx}}{b} \end{eqnarray*}$ - Wenn ich x=3 einsetzen würde, welches A hätte ich dann, kann ich das in einer Zeichnung irgendwo sehen? --> http://www.wolframalpha.com/input/?i=e^x+and++e^-x
Also was würde passieren, wenn ich x=3 setzen würde?

3. Ich fasse zusammen:
HB: $\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ und NB: $\begin{eqnarray*} m_1 \cdot m_2 = -1 \end{eqnarray*}$ .

Dann hab ich ja meine Formel $\begin{eqnarray*} F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \phi(x,y) = \frac{1}{a}-\frac{1}{b} + \lambda(m_1 \cdot m_2+1) \end{eqnarray*}$

4. Gleichungen
I: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial a}=0 \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial b}=0 \end{eqnarray*}$
III: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial \lambda} = m_1 \cdot m_2+1 \end{eqnarray*}$

Hmm nach was leite ich denn hier genau ab jetzt? Also die HB ist doch nur mehr von a und b abhängig, jedoch die NB von m_1 und m_2. Muss ich nach m_1 und m_2 auch ableiten? Wie entscheide ich denn, nach was ich ableite?

24.06.2016, 13:06

mYthos

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Du sollst x, y nicht mit a, b verwechseln.
x bzw. x1 (x2) ist durch die Angabe als Abszisse des Schnittpunktes festgelegt und es ist hier nun mal 0, woher soll 3 kommen?
Die Variablen sind hier a, b und der konstante x-Wert dient jetzt nur dazu, um die Fläche (mittels des Integrals) und die Steigungen m1, m2 (mittels der Ableitung) in a, b auszudrücken.

$\begin{eqnarray*} m_1 = \frac 1 a , \ m_2 = -\frac 1 b \end{eqnarray*}$

Ausserdem ist die Flächenformel falsch, denn das Minus vor der rechten Fläche ein weiterer Fehler; wenn du die Grenzen richtig einsetztst, wird diese Fläche ebenfalls positiv.
Es sind ohnehin nur die Beträge der beiden Flächen zu addieren.

Der Lagrange-Ansatz lautet daher

$\begin{eqnarray*} L(a, b, \lambda) = f(a,b) \text{(!)} + \lambda \phi(a, b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L(a, b, \lambda) = \frac 1 a + \frac 1 b + \lambda (1 - \frac 1 {ab}) \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------

Es liegt auf der Hand, dass letztendlich $\begin{eqnarray*} a = b \end{eqnarray*}$ sein muss.

--------------

Zum Tangentenvektor:

Zitat:

Original von Probability
...
1. Ich hätte da vielleicht meine Frage spezifischieren sollen. Betrag eines Vektors ergibt seine Länge genau. Aber hat das auch eine nähere Bedeutung im Bezug eines Tangentialvektores? Oder nicht mehr?
...

Doch, die Bedeutung liegt in der Bogenlänge.
$\begin{eqnarray*} ds = \sqrt{dx^2+(f'(x) dx)^2} \end{eqnarray*}$ und wenn das integriert wird, kommt $\begin{eqnarray*} s = \int \sqrt{1 + f'(x)^2} \dd x \end{eqnarray*}$
Aber das ist eine andere Geschichte, was hat das jetzt mit deiner Aufgabe zu tun?

mY+

24.06.2016, 14:18

Probability

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Danke.

Ich denke ich habs verstanden und fasse es nun zusammen:
Da ja nur alles von a,b abhängen kann und der Schnittpunkt bei x=0 gegeben ist, muss ich Fläche und Steigung durch a,b ausdrücken:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

Naja und die Steigung der zwei Funktionen im Punkt x=0 ist eben nun $\begin{eqnarray*} m_1 = \frac 1 a , \ m_2 = -\frac 1 b \end{eqnarray*}$ .

Also ergibt sich $\begin{eqnarray*} L(a, b, \lambda) = \frac 1 a + \frac 1 b + \lambda (1 - \frac 1 {ab}) \end{eqnarray*}$ wie du schon erwähnt hast und folgende Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} I: -\frac{1}{a^2}+\lambda\frac{1}{a^2b}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: -\frac{1}{b^2}+\lambda\frac{1}{b^2a}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III: 1-\frac{1}{ab}=0 \end{eqnarray*}$

Ja und offensichtlich muss a=b=1 sein, dann haben wir einen Schnittwinkel von 90° und die geringste(?) Fläche.

Ein paar Fragen zu diesem Verfahren:
1. Wie erkenne ich nun ob es ein Minimum oder ein Maximum ist? Die einzige Möglichkeit ist die Jacobi-Matrix, jedoch wie hängt dieses Verfahren denn zusammen mit dieser?

2. Wie garantiert man, dass die drei obigen Gleichungen 100% gleich Null sind? III ist klar, denn das ist einfach die NB umgeformt auf =0.

25.06.2016, 10:56

mYthos

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Es wird nicht geraten, sondern zu diesem Resultat musst du natürlich exakt gelangen.
Die Gleichungen I und II werden ganz normal weiter verarbeitet, da ist nichts von vornherein zu "garantieren". Und zwar wird das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ eliminiert:

$\begin{eqnarray*} \text{(I) } \frac 1 {a^2} = \lambda \frac 1 {a^2b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(II) } \frac 1 {b^2} = \lambda \frac 1 {ab^2} \end{eqnarray*}$
-------------------------------------
...
Division I / II, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ fällt heraus
...

$\begin{eqnarray*} \to a = b \end{eqnarray*}$
Damit nun in die Nebenbedingung!

---------------------

Der Nachweis des Extremwertes erfolgt mit der Hesse-Matrix bzw. mit der "geränderten" Hesse-Matrix oder mit Vergleich durch Einsetzen in die Hauptbedingung.
Dabei wirst du sehen, dass für a = 1 ein Minimum*, und für a = -1 ein Maximum vorliegt.
Es handelt sich hier jedoch nur um eine Vertauschung der beiden Funktionen, der Absolutwert der Fläche ist immer ein Minimum (!)

(*) Die Determinante der geränderten Hesse-Matrix ist - 4

mY+

25.06.2016, 16:39

Probability

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Ahh ok danke.

Also wenn ich es mit der HB überprüfe kommt für a=1 eine Fläche A=2 raus und für a=-1 kommt A=-2 raus, da es negative Flächen nicht gibt, muss mehr oder weniger a=1 das Minimum sein.

Fragen:
1. Gibt es einen Grund warum die erste und zweite Gleichung Null sein müssen? Bei der dritten ist es klar, da es aus der NB hervorgeht(Umformung auf Null).

25.06.2016, 18:19

mYthos

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Es sind die partiellen Ableitungen, das sind die Steigungen der Tangenten in bevorzugte Richtungen.
Und da die Tangenten in Extrempunkten waagrecht sind, sind deren Steigungen und damit die partiellen Ableitungen Null.

mY+

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