Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte

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e30austria Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte
Meine Frage:
Hallo!

Ich hoffe es gibt nicht bereits eine ähnliche Frage, ich konnte keine finden.
Also, ich stehe kurz vor meiner Mathe-Abschlussklausur und habe folgendes Problem:

In Textaufgaben ist gefordert, auf Grund von verschiedenen Punkten ein Gleichungssystem aufzustellen. Ich nehme hier mal eine Polynomf. 2. Grades an. Grundsätzlich kein Problem (y=ax²+bx+c). Hier die Aufgabenstellung (hab ich jetzt mal so erfunden): Die Durchflussmenge beträgt Anfangs 2 Liter in der Sekunde. Nach 13 Sekunden beträgt die maximale Durchflussmenge 3 Liter. Stellen Sie ein Gleichungssystem auf.

Meine Ideen:
Also mein Ansatz:
f(t) = ax²+bx+c
f'(t) = 2ax+b
f''(t) = 2a

f(0) = 2
f(13) = 3
f'(13) = 0

Mein Problem dabei - Wenn im Text "maximal", "höchste", "schnellste", etc. steht, bin ich mir nie sicher ob es sich um einen Hochpunkt oder doch um den Wendepunkt (max. Änderungsrate) handelt. Dieses Problem stellt sich ebenso bei Geschwindigkeitsfunktionen.
Gibt es eine sinnvolle Erklärung, wie ich darauf schießen kann, ob es sich um ein Max/Min (1. Ableitung) oder um einen Wendepunkt (2. Ableitung) handelt?

Für eure Hilfe bin ich euch sehr dankbar!
e30austria Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte
Achja, hier habe ich ein nicht so kluges Beispiel für meine Frage angewandt, da es bei einer Polynomfunktion 2. Grades ja eindeutig ist, dass es ein Hochpunkt ist.

Aber wie ist es bei einer des 3. Grades?
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte
Ja, das ist sehr oft unglücklich und verwirrend formuliert. Gute Mathematiker haben oft Schwierigkeiten, physikalische Phänomene richtig auszudrücken.

Auch in Deinem Beispiel wird eine Durchflussmenge genannt, aber die Dimension ist Liter pro Sekunde. Es handelt sich also um eine Durchflussgeschwindigkeit, das ist die zeitliche Ableitung der Durchflussmenge. Andererseits heißt es nachher, dass die maximale Durchflussmenge 3 Liter beträgt. Hier hat der Aufgabensteller wieder nicht aufgepasst, auch hier müsste die Dimension Liter pro Sekunde sein.

Man könnte solch eine schlecht gestellte Aufgabe einfach als unlösbar bezeichnen und in der Klausur nichts hinschreiben. Aber das wird dann bloß ein Hickhack mit dem Lehrer, denn eigentlich ist ja klar, was gemeint ist.

Prinzipiell ist es immer dasselbe: es gibt eine zeitabhängige Größe f(t) (z.B. Füllstand in Liter), und dann die zeitliche Änderung dieser Größe (Strömungsgeschwindigkeit in Liter pro Sekunde), also deren erste Ableitung nach der Zeit, f'(t). Viel mehr ist es selten, manchmal ist auch noch f''(t) gegeben.

Nun kann man fragen: "wann ist der Füllstand am höchsten?" Dann sucht man das Maximum des Füllstands f(t). Also f'(t)=0 und auch noch die zweite Ableitung für den Hochpunkt.

Oder man fragt: "wann ändert sich der Füllstand am schnellsten?" Dann wird also das Maximum von f'(t) gesucht.

Oder: "wie hoch ist der Füllstand, wenn seine Änderung 42 l/s beträgt?" Dann setzt man f'(t)=42, löst nach t auf und setzt es in f(t) ein.

Und so weiter. Wie gesagt, achte bei der Aufgabe darauf, wann von "Änderung" die Rede ist, und wann nicht.

Viele Grüße
Steffen
e30austria Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte
Vielen Dank erstmal!

Also zusammengefasst, muss bei der Fragestellung der Hinweis auf eine Änderung oder eine Aussage über ein Maximum gegeben sein?

Also im Text, maximale Durchflussgeschwindigkeit oder höchste Geschwindigkeit ergibt f'(t)=0.
Oder für den Wendepunkt, maximale Zunahme der Durchflussgeschwindigkeit bzw. höchste Geschwindigkeitszunahme f''(t)=0

Wenn kein Hinweis auf eine Änderung gegeben ist, muss es Max/Min sein.
Bei Polynomfunktionen 2. Grades brauch ich mir keine Gedanken mach, da sie ja über keinen Wendepunkt verfügen, oder (2. Ableitung wäre ja eine Konstante)?
e30austria Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte
Hier noch ein Beispiel von der Bildungsforschung:

Bei einem Therapieverfahren wird die Körpertemperatur bewusst stark erhöht (künstliches Fieber). Die nebenstehende Grak dokumentiert näherungsweise den Verlauf des künstlichen Fiebers bei einer solchen Behandlung.

Die Funktion f beschreibt den Zusammenhang zwischen Zeit und Körpertemperatur:
f(t) = –0,18  t3 + 0,85  t2 + 0,6  t + 36,6
t ... Zeit in Stunden (h) mit 0  t  5
f(t) ... Körpertemperatur zur Zeit t in °C

a) – Dokumentieren Sie, wie die maximale Körpertemperatur im angegebenen Zeitintervall
mithilfe der Differenzialrechnung berechnet werden kann.

b) – Berechnen Sie den Zeitpunkt der maximalen Temperaturzunahme.


Meine Gedanken:
a) max. Temp. = Hochpunkt. Also 1. Ableitung bilden, 0 setzen, ergebenen x-Wert in f(t) einsetzen.

b) 2. Ableitung 0 setzen. x-Wert in f(t) einsetzen
e30austria Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte
Es tut mir leider, aber mir geistert noch ein Problem im Kopf herum:

Ich habe in Erinnerung, dass bei einem v(t)-Diagramm - bei gegebener v(t)-Funktion, diese bereits die 1. Ableitung von s(t) ist. Stimmt das?

Denn zB. (Aufgabe vom Bildungsforschungsinstitut):

Eine Straßenbahn fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s und beginnt vor der Haltestelle zu bremsen. Vom Bremsbeginn bis zum Stillstand lässt sich der
Geschwindigkeitsverlauf näherungsweise durch die folgende Funktion beschreiben:
v(t) = 5/288 ∙ t3 – 5/16 ∙ t² + 15; 0 s ≤ t ≤ 12 s

t … Zeit in Sekunden (s)
v(t) … Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Metern pro Sekunde (m/s)

Beim Bremsen tritt eine negative Beschleunigung auf. Den Betrag der negativen Beschleunigung nennt man Bremsverzögerung.

a) Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Bremsverzögerung maximal ist, und
geben Sie diese Bremsverzögerung an.

Meine Gedanken dazu:
Ich dachte die erste Ableitung einer v(t)-Funktion wäre a(t). In der Lösung wird der Wendepunkt gesucht, und dieser in der 2. Ableitung v&#8243traurig t) = 0 t=6. 6 Eingesetzt in die erste Ableitung, ergibt -1,88 m/s²

Irgendwie fehlt mir hier die logische Erklärung.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte
Zitat:
Original von e30austria
...
v(t) = 5/288 ∙ t3 – 5/16 ∙ t² + 15; 0 s ≤ t ≤ 12 s
...

Siehst du dir deine Beiträge eigentlich an, bevor du sie absendest?
Bitte kein gedankenloses cut 'n' paste verwenden!

Auch das danach folgende ist nicht lesbar.

mY+
e30austria Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte
Ah, tut mir leid - nein, habe ich mir nicht angesehen. Bitte den vorigen Beitrag löschen.

Also:
Ich habe in Erinnerung, dass bei einem v(t)-Diagramm - bei gegebener v(t)-Funktion, diese bereits die 1. Ableitung von s(t) ist. Stimmt das?

Denn zB. (Aufgabe vom Bildungsforschungsinstitut):

Eine Straßenbahn fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s und beginnt vor der Haltestelle zu bremsen. Vom Bremsbeginn bis zum Stillstand lässt sich der
Geschwindigkeitsverlauf näherungsweise durch die folgende Funktion beschreiben:

Also:
v(t) = 5/288.t³ - 5/16.t²+15; 0s kleiner gleich t kleiner gleich 12 s

t … Zeit in Sekunden (s)
v(t) … Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Metern pro Sekunde (m/s)

Beim Bremsen tritt eine negative Beschleunigung auf. Den Betrag der negativen Beschleunigung nennt man Bremsverzögerung.

a) Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Bremsverzögerung maximal ist, und
geben Sie diese Bremsverzögerung an.

Meine Gedanken dazu:
Ich dachte die erste Ableitung einer v(t)-Funktion wäre a(t)?

In der Lösung wird der Wendepunkt gesucht, v''(t)=0. t=6 anschließend die 1. Ableitung v'(t) eingesetzt, ergibt -1,88 m/s²
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte
Zitat:
Original von e30austria
Ich habe in Erinnerung, dass bei einem v(t)-Diagramm - bei gegebener v(t)-Funktion, diese bereits die 1. Ableitung von s(t) ist. Stimmt das?


Ja. Die zeitliche Änderung des Wegs (genauer der Position) ist die Geschwindigkeit.

Zitat:
Original von e30austria
Ich dachte die erste Ableitung einer v(t)-Funktion wäre a(t)?


Auch das stimmt. Wie schnell sich die Geschwindigkeit pro Zeit ändert, beschreibt die Beschleunigung. Diese ist somit die erste Ableitung der Geschwindigkeit und die zweite Ableitung des Wegs nach der Zeit: a(t)=v'(t)=s''(t).
e30austria Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion - Hinweise im Text auf Wendepunkt oder Hoch-/Tiefpunkte
Ich danke dir vielmals für deine Hilfe!
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