Schnittkreis Ebene-Kugel

22.06.2016, 09:07

Mateh_Cookie

Schnittkreis Ebene-Kugel

Meine Frage:
Hallo,

ich hänge jetzt schon die ganze Zeit an dieser Aufgabe und komme einfach nicht auf drauf wie ich sie lösen soll. Ihr seid meine letzte Hoffnung!

Gegeben ist die Ebene E: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right)=0 \end{eqnarray*}$
und die Kugel K: $\begin{eqnarray*} \left(\vec{x}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right)^{2}= 25 \end{eqnarray*}$
Nun soll man 3 Punkte des Schnittkreises angeben

Meine Ideen:
Einen Punkt habe ich schon ausgerechnet; den Mittelpunkt des Schnittkreises M(77/25 / 2 / 144/25)
Bei den anderen Punkten hagt es einfach. Ich hab versucht die Ebene und die Kreisgleichung gleichzusetzen, was aber nicht funktionierte.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!

22.06.2016, 11:00

riwe

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RE: Schnittkreis Ebene-Kugel
Punkt 2 und 3 sollen vermutlic ein "-" sein verwirrt

du hast einen Vorzeichenfehler

berechne zunächst den Radius des Schnittkreises und anschließend eine Parameterform des Kreises oder bringe die Ebene in die Parameterform, setze in die Kugelgleichung ein und verfüge über einen der beiden Parameter frei

22.06.2016, 12:57

Mahte_Cookie

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RE: Schnittkreis Ebene-Kugel
Ja stimmt, sorry das war ein Tippfehler.

Ich hab mich für die Variante mit dem Einsetzen der Ebenengleichung in die Kugelgleichung entschieden.

Also für die Parameterform der Ebene hab ich raus: E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{3}{4} \end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das eingesetzt in der Kugelgleichung mit s= 1 bestimmt ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -4+ t^{2} \\ -\frac{225}{16} \end{pmatrix}= 25 \end{eqnarray*}$

wie komm ich denn jetzt auf t? Und wie soll ich den anderen Punkt berechnen

Danke schonmal im Vorraus !

22.06.2016, 13:30

riwe

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RE: Schnittkreis Ebene-Kugel
die Ebenengleichung lautet doch: 4x + 3z = 0 verwirrt

wie kommst du dann auf deine Parameterform?

zur Frage: Ausquadrieren ergibt t

22.06.2016, 15:07

Mahte_Cookie

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RE: Schnittkreis Ebene-Kugel
ich stelle zunächst die Koordinatenform nach x3 um: $\begin{eqnarray*} X3=0-\frac{3}{4}x1-0\cdot x2 \end{eqnarray*}$
dann substituiere ich x1 und x2 mit s und t und schreibe dies wie folgt auf:
$\begin{eqnarray*} X1=0+1\cdot s+0\cdot t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X2=0+0\cdot s+1\cdot t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X3=0-\frac{3}{4} \cdot s-0\cdot t \end{eqnarray*}$
jetzt setz ich das der Reinfolge nach in die Parameterform und komme so zu meiner Gleichung.

22.06.2016, 15:38

riwe

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RE: Schnittkreis Ebene-Kugel

Zitat:

Original von Mahte_Cookie
ich stelle zunächst die Koordinatenform nach x3 um: $\begin{eqnarray*} X3=0-\frac{3}{4}x1-0\cdot x2 \end{eqnarray*}$
dann substituiere ich x1 und x2 mit s und t und schreibe dies wie folgt auf:
$\begin{eqnarray*} X1=0+1\cdot s+0\cdot t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X2=0+0\cdot s+1\cdot t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X3=0-\frac{3}{4} \cdot s-0\cdot t \end{eqnarray*}$
jetzt setz ich das der Reinfolge nach in die Parameterform und komme so zu meiner Gleichung.

ja stimmt, da habe ich schlecht geschaut.
dein Zeug ist aber auch (sonst) immer sehr schwer zu erkennen und den Vektor bei s könnte man "schöner" machen:

allerdings hast du nicht in die Kugelgelichung eingesetzt
das würde nämlich so aussehen:

$\begin{eqnarray*} (0)^2+(t-4)^2+(\frac{15}{4})^2=25 \end{eqnarray*}$

und daraus kannst du nun t berechnen und hast schon 2 Punkte auf der Kugel Augenzwinkern

22.06.2016, 15:58

Mahte_Cookie

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RE: Schnittkreis Ebene-Kugel

Zitat:

dein Zeug ist aber auch (sonst) immer sehr schwer zu erkennen und den Vektor bei s könnte man "schöner" machen:

Okey, ich versuche das mal anständiger zu machen Big Laugh

Zitat:

allerdings hast du nicht in die Kugelgelichung eingesetzt
das würde nämlich so aussehen:

$\begin{eqnarray*} (0)^2+(t-4)^2+(\frac{15}{4})^2=25 \end{eqnarray*}$

und daraus kannst du nun t berechnen und hast schon 2 Punkte auf der Kugel Augenzwinkern

Ich verstehe nicht wie du grad auf die Gleichung gekommen bist. Und wie erhalte ich denn 2 Punkte? Habe beide Punkte den von mir festgelegten Parameter s=1 als y-Koordinate?

22.06.2016, 16:40

riwe

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RE: Schnittkreis Ebene-Kugel
das habe ich befürchtet Augenzwinkern

das kommt davon, dass du die Kugelgleichung nicht richtig hinschreibst:

$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} )^2=25\to (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=25 \end{eqnarray*}$

nun setze ein mit s = 1

edit: die "4" hast du mir oben eingebrockt 4 = 2², selber schuld Augenzwinkern

22.06.2016, 17:30

Mahte_Cookie

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RE: Schnittkreis Ebene-Kugel
Vielen, vielen Danke, Freude