Summen und Produkte nicht-ganzer und ganzer Elemente wieder ganz?

22.06.2016, 14:14

Shalec

Summen und Produkte nicht-ganzer und ganzer Elemente wieder ganz?

Hallo,

kann man i.A. folgende Aussage treffen (und beweisen)?
Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in R' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ganz über $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und a nicht ganz über $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Dann sind
$\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\cdot b \end{eqnarray*}$ ganz (nicht ganz) über $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße und vielen Dank.

(Beispielsweise kann $\begin{eqnarray*} R'=\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ angenommen werden, falls das einen Unterschied macht. In jeden Fall sind R und R' mindestens Ringe)

22.06.2016, 14:18

HAL 9000

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Zumindest bei $\begin{align*} a\cdot b \end{align*}$ dürfte es da keine einheitliche Antwort geben - man betrachte nur mal den Fall "a nicht ganz" einerseits und dann b=0 bzw. b=1 (jeweils ganz) andererseits...

22.06.2016, 14:45

IfindU

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RE: Summen und Produkte nicht-ganzer und ganzer Elemente wieder ganz?
Mit a,b ganz, folgt sofort a+b ganz, mit dem normierten Polynom gegeben als Produkt der jeweiligen Polynome fuer a,b.

Zusammen mit b ganz gdw -b ganz folgt auch das erste trivial.

22.06.2016, 14:52

Shalec

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RE: Summen und Produkte nicht-ganzer und ganzer Elemente wieder ganz?

Zitat:

Original von IfindU
Mit a,b ganz, folgt sofort a+b ganz, mit dem normierten Polynom gegeben als Produkt der jeweiligen Polynome fuer a,b.

Zusammen mit b ganz gdw -b ganz folgt auch das erste trivial.

Meinst du damit, wenn b ganz gdw -b ganz folgt a+b ganz für nicht-ganze a?

@HAL 9000
Kurz nach dem Absenden habe ich bemerkt, dass bereits $\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einen Widerspruch liefert.

Viele Grüße und vielen Dank für die schnellen Reaktionen.

22.06.2016, 14:57

IfindU

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RE: Summen und Produkte nicht-ganzer und ganzer Elemente wieder ganz?
Sei $\begin{eqnarray*} c = a + b \end{eqnarray*}$ mit b ganz. Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ganz ist, ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ganz. Andersherum, ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ganz, so ist $\begin{eqnarray*} a = c + (-b) \end{eqnarray*}$ ganz. D.h. wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht-ganz ist, so ist es nicht $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und andersrum.

22.06.2016, 15:33

Shalec

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RE: Summen und Produkte nicht-ganzer und ganzer Elemente wieder ganz?

Zitat:

Original von IfindU
Sei $\begin{eqnarray*} c = a + b \end{eqnarray*}$ mit b ganz. Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ganz ist, ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ganz. Andersherum, ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ganz, so ist $\begin{eqnarray*} a = c + (-b) \end{eqnarray*}$ ganz. D.h. wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht-ganz ist, so ist es nicht $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und andersrum.

danke

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