Maximum der gemeinsamen Dichte zweier abhängiger normalverteilter Zufallsvariablen |
| 22.06.2016, 15:49 | the_official | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Maximum der gemeinsamen Dichte zweier abhängiger normalverteilter Zufallsvariablen Es seien gegeben zwei normalverteilte Zufallsvariablen X, Y. X habe den Mittelwert 0.2000 und die Standardabweichung 0.0600 Y habe den Mittelwert 0.1000 und die Standardabweichung 0.0400 Nun werde eine Realisation von X und Y beobachtet, wobei jedoch X und Y nicht einzeln beobachtet werden können, sondern nur ihre Differenz X-Y, z.B. 0.0500. Meine Frage ist nun, für welches Wertepaar von X und Y unter obigen Verteilungsannahmen wird die Wahrscheinlichkeit für die gegeben Realisation der Differenz maximal? Wie ließe sich die Lösung verallgemeiern? Kann man eine geschlossene Lösung als Funktion der Parameter mu(X), sigma(X), mu(Y), sigma (Y) und der Beobachtung X-Y schreiben? Vielen Dank im voraus für eure Hilfe! Meine Ideen: Numerisch habe ich ermittelt, dass im vorliegenden Beispiel das Wertepaar X=0.1902 und Y=0.1402 das Maximum der aufsummierten Dichtefunktionen beider Verteilungen ergibt. Ob dieser intuitive Ansatz korrekt ist, weiß ich leider nicht. |
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| 22.06.2016, 15:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sind und unabhängig, so gilt . Im vorliegenden Fall ist daher , also normalverteilt mit Mittelwert 0.1 und Standardabweichung . |
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| 22.06.2016, 15:56 | the_official | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die Antwort. Allerdings suche ich nicht nach der Verteilung der Differenz beider ZV. Vielmehr suche ich das Wertepaar, dass die maximale Likelihood der gegebenen Realisation X-Y aufweist. |
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| 22.06.2016, 16:02 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
EDIT: Ah, Ok, langsam ahne ich, was du willst. |
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| 22.06.2016, 16:05 | the_official | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau darauf zielt die Frage ab: unter allen möglichen Wertepaaren, welche die gegebene Differenz aufweisen, hat welches die höchste Wahrscheinlichkeit des Auftretens (maximum likelihood)? Intuitiv leuchtet ja z.B. ein, dass das Paar 1.00/0.95 weniger wahrscheinlich ist, da weit am Rand der Verteilung, als z.B. das Paar 0.20/0.15 |
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| 22.06.2016, 16:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist doch nicht so schwer: Du musst nur unter der Nebenbedingung maximieren. Eingesetzt in die Normalverteilung ergibt dies was natürlich betrifft, beides bzgl. . Letzteres ist eine einfache quadratische Funktion in , von der solltest du doch die Minimumstelle finden können. 
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| 22.06.2016, 16:13 | the_official | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, das werd ich mal ausprobieren :-) |
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| 22.06.2016, 16:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Kontrolle: Raus kommt in deinem Beispielfall oben wäre das sowie . |
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| 22.06.2016, 16:22 | the_official | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau was ich gesucht hab, perfekt! |
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| 22.06.2016, 16:34 | the_official | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich mir noch eine Anschlussfrage erlauben darf: Angenommen die Beobachtung der Differenz d unterliegt einen Messfehler sigma(d). Kann man das noch in deine Formel zur Bestimmung des maximum-likelihood-Wertepaares einfügen? |
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| 22.06.2016, 23:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie "einfügen" ? 
Wenn du in als variabel statt fest betrachten willst, dann mach das doch - entsprechend ist dann auch die Maximumposition variabel. |
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| 23.06.2016, 15:54 | the_official | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die Hilfe, jetzt ist auch bei mir der Groschen gefallen :-) |
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