Mehrdimensionale Extrema - Lagrange-Multipliers

22.06.2016, 19:54	Musican	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionale Extrema - Lagrange-Multipliers Meine Frage: Hallo ihr lieben Mitmathematiker! Ich habe folgende Aufgabe gegeben : " Untersuchen Sie die Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R² \rightarrow \mathbb R , f(x,y) := -x² + 3xy - y² \end{eqnarray}$ (also offensichtlich ein nach unten geöffnetes Paraboloid) auf lokale Extrema und Sattelpunkte und bestimmen Sie die Maxima und Minima auf der Kreisscheibe $\begin{eqnarray} \mathbb K = \left\{(x,y) \in \mathbb R² \| x² + y² \leq 1 \right\} . \end{eqnarray}$ " Meine Ideen: Also, durch Bestimmung des Gradienten und der Hessematrix habe ich keine Extrema finden können, da die Hessematrix indefinit ist. Also gibt es nur in (0,0) einen Sattelpunkt. Nun wollte ich die Bedingung der Kreisscheibe mit ins Spiel bringen. Mein Ansatz war jetzt folgender : Da wir ja im vorherigen Teil schon alle lokalen Extrema, also alle inneren Punkte untersucht haben , muss ich nurnoch den Fall $\begin{eqnarray} \mathbb K = \left\{ (x,y) \in \mathbb R² \| x² + y² = 1 \right\} \end{eqnarray}$ betrachten. Stimmt das? Angenommen ich hätte vorher lokale Extrema festgestellt, hätte ich doch nur noch schauen müssen, ob welche meiner Extrema KLEINER 1 , sind, also in meiner Kontur liegen, oder? Da wir jetzt keine gefunden haben, fehlt also noch den Rand der Kreisscheibe zu untersuchen. Weil dieser Rand eine Kompakte Menge ist, MUSS die Funktion doch dort ihr Maximum und ihr Minimum annehmen, oder? Wenn ich jetzt also das Lagrange Verfahren anwende mit der Lagrange-Funktion $\begin{eqnarray} L := (-x² + 3xy -y²) + \lambda (x² +y² -1) \end{eqnarray}$ , dann erhalte ich folgenden Gradienten : $\begin{eqnarray} GradL(x,y) := \begin{pmatrix} -2x + 3y + 2\lambda x \\ 3x -2y + 2 \lambda y \\ x² + y² -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mein Problem ist jetzt das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} GradL = 0 \end{eqnarray}$ zu lösen. Da das GS ja im Allgemeinen nicht Linear ist, stellt sich mir die Frage, wie ich dort am besten Verfahre um die kritischen Punkte zu berechnen? Sollte ich besser durch gegenseitiges Einsetzen arbeiten? Oder vielleicht Fallunterscheidungen machen? Ich hänge schon lange an diesem Punkt fest und komme nicht drauf, wie es am besten (auch aus zeitlichen Gründen in der Klausur) wäre das Ding zu lösen.. Eine weitere Frage wäre dann noch, ob es relevant ist mit welcher Hessematrix man die krit. Punkte am Ende überprüft. reicht es die normale Hessematrix von f zu nehmen oder brauche ich zwangsläufig die geränderte Hessematrix? Danke schonmal für eure Zeit und eure Hilfe!
22.06.2016, 21:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur kurz zum Gleichungssystem (zum anderen aus Zeitmangel bitte andere Helfer!): Allgemein wird immer danach zu trachten sein, das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ zu eliminieren, denn dessen Kenntnis ist nicht von Bedeutung. Schreibe das System als $\begin{eqnarray} 2x - 3y = 2 \lambda x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -3x + 2y = 2 \lambda y \end{eqnarray}$ --------------------------- und dividiere die beiden Gleichung beidseits durcheinander, somit fällt $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ heraus. Nach Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt sich eine einfache (quadr.) Gleichung, die du mit der Nebenbedingung koexistieren lässt. mY+
26.06.2016, 17:13	Musican	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Nur ich weiß nicht, ob das immer möglich ist. In diesem Fall ist die Gleichung ja nur zufällig linear, oder? Bei Funktionen unterschiedlichen Grades wäre das schon nicht mehr möglich, oder?
02.07.2016, 15:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gleichungssystem ist ja gar nicht linear (sondern quadratisch; hast du dies eigentlich so zu lösen versucht?), aber das ist jetzt nicht so sehr essentiell. Wichtig ist, dass $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eliminiert ist. () $\begin{eqnarray} x^2 - y^2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray}$ ---------------- Entschuldige bitte die verspätete Antwort, ich war 6 Tage ausser Landes .. mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »