Lokalisierungen ganzer Ringerweiterungen nicht immer ganz

22.06.2016, 20:22	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokalisierungen ganzer Ringerweiterungen nicht immer ganz Hallo, ich brauche Hilfe bei einer Teilaufgabe. Zunächst das Setting: $\begin{eqnarray} R:= \mathbb R[x^2-1],\ R':=\mathbb R[x] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} R\subset R' \end{eqnarray}$ Ringerweiterung. R ist als Unteralgebra von R' gegeben. Ich habe bereits gezeigt, dass R' eine ganze Ringerweiterung von R ist, indem ich zeigte, dass x ganz über R ist und R[x]=R' gilt. Als endliche Erweiterung ist diese somit ganz. Jetzt die Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} P'=(x-1)\subset R' \end{eqnarray}$ ein Ideal, und $\begin{eqnarray} P=P'\cap R \end{eqnarray}$ . Behauptung: Die Ringerweiterungen der Lokalisierungen $\begin{eqnarray} R'_{P'}\subset R_P \end{eqnarray}$ ist nicht ganz über $\begin{eqnarray} R_P \end{eqnarray}$ . Als Hinweis ist mir das Element $\begin{eqnarray} t:=\frac{1}{x+1} \end{eqnarray}$ gegeben worden. Idee Ich hätte nun versucht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} t\in R'_{P'} \end{eqnarray}$ aber t nicht ganz über $\begin{eqnarray} R_P \end{eqnarray}$ ist. Ich denke ein entscheidender Punkt ist: $\begin{eqnarray} P\subsetneq P' \end{eqnarray}$ . Ich sehe auch nicht, warum es wichtig ist, dass hier eine Algebra definiert wurde. (Algebra sind bei uns Ringe zusammen mit einem Ringhomomorphismus. Ringe sind kommutativ mit 1.) Insofern ich mich richtig erinnere ist: $\begin{eqnarray} R_P=\{ \frac{a}{b}\ :\ a\in R, b\notin P\} \end{eqnarray}$
23.06.2016, 17:48	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu dieser Aufgabe habe ich mir nun gedacht, dass $\begin{eqnarray} x-1\notin \mathbb R[x^2-1] \end{eqnarray}$ und somit auch $\begin{eqnarray} x-1\notin P \end{eqnarray}$ . Somit kann ich in der Lokalisierung bzgl. P' zwar durch x+1 teilen, aber in der Lokalisierung bzgl. P liefert mir dies ein Widerspruch: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{0} \end{eqnarray}$ . Damit kann ich kein Polynom $\begin{eqnarray} f\in \mathbb R[x^2-1]_P[y] \end{eqnarray}$ finden, sodass $\begin{eqnarray} f\left( \frac{1}{x+1} \right) =0 \end{eqnarray}$ . Damit ist diese Lokalisierung nicht ganz. Stimmt das so?

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