Jordan Normalform 5x5 Matrizen

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Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan Normalform 5x5 Matrizen
Meine Frage:
Liebe Community,

für folgende Aufgabe würde ich mich über eure Hilfe freuen:

Zu betrachten sind 5x5-Matrizen, die nur einen Eigenwert haben (wobei (kompl. Zahlen)).

Gefragt ist nun wie viele verschiedene Matrizen man finden kann, sodass diese nicht ähnlich zueinander sind.


Meine Ideen:
Meine Überlegung dazu:

Also Matrizen sind bis auf ihre Jordan-Blöcke ja genau dann ähnlich wenn sie die gleiche Jordan-Normalform haben. Jetzt ist meine Überlegung einfach nilpotente Matrizen zu betrachten, da sie ja nur den einen Eigenwert haben. So käme ich eigentlich ziemlich schnell ans Ziel.

Meine Frage dazu ist jetzt, ob ich noch andere Matrizen (außer nilpotenten Matrizen) betrachten müsste, welche ebenfalls nur einen Eigenwert haben?
Dann würde es ja eigentlich nicht mehr überschaubar sein..
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordan Normalform 5x5 Matrizen
Jemand der mir helfen möchte? smile Oder bin ich total falsch? verwirrt
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RE: Jordan Normalform 5x5 Matrizen
Wie kommst du auf nilpotenten Matrizen? Jede Vielfache der Einheitsmatrix hat genau einen Eigenwert, ist aber nur in einem Fall nilpotent.
Wie argumentierst du denn bei nilpotenten Matrizen?
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordan Normalform 5x5 Matrizen
Stimmt Hammer
Vielen Dank Freude

Spielt aber eigentlich keine Rolle für meine Vorgehensweise.

Meine Überlegung bisher ist:

Da 2 Matrizen ähnlich sind genau dann wenn sie die gleiche Jordan-Normalform haben und jede Vielfachheit der Einheitsmatrix genau einen Eigenwert lamda hat folgt:

Die Jordan-Normalform einer 5x5 Matrix besteht aus Blöcken der Einheitsmatrix (oder deren Vielfache) zum Eigenwert lamda, deren Länge sich zu eben 5 addieren.

Es ergeben sich somit 7 verschiedene 5x5-Matrizen, da sich 5 (element der IN) auf genau 7 Wegen als die Summe von natrülichen Zahlen größer gleich 1 darstellen lässt.

Soweit in Ordnung? Oder hab ich noch was vergessen?
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RE: Jordan Normalform 5x5 Matrizen
Zitat:
Die Jordan-Normalform einer 5x5 Matrix besteht aus Blöcken der Einheitsmatrix

Das stimmt nicht.
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordan Normalform 5x5 Matrizen
Stimmt, sollte auch heißen:

Jede Jordan-Normalform einer 5x5 Einheitsmatrix (oder deren Vielfache) besteht aus Blöcken zum Eigenwert lamda, deren Länge sich zu 5 addieren.

d.h. meine 7 Matrizen sind durch die fogende Blöcke gegeben:

Matrix 1: 5

Matrix 2: 1+1+1+1+1

Matrix 3: 1+1+1+2

Matrix 4: 1+2+2

Matrix 5: 1+1+3

Matrix 6: 2+3

Matrix 7: 4+1
 
 
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RE: Jordan Normalform 5x5 Matrizen
Über den Satz
Zitat:
Jede Jordan-Normalform einer 5x5 Einheitsmatrix (oder deren Vielfache) besteht aus Blöcken zum Eigenwert lamda, deren Länge sich zu 5 addieren.

solltest du nochmal nachdenken. Eine feste Matrix hat genau eine Jordan-Normalform.

Der Rest ist allerdings korrekt.
Alina H. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordan Normalform 5x5 Matrizen
Vielen Dank smile
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