Satz von Liouville

23.06.2016, 23:26

Dukkha

Satz von Liouville

Hallo zusammen,

Ich habe eine Frage zum Beweis des Satzes von Liouville aus der Funktionentheorie.

Sei $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ beschränkt, dann gilt mit der Integralformel und der Standardabschätzung für Kurvenintegrale
$\begin{eqnarray*} | f'(z) | = \left| \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \oint_{\partial U_r(z)} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\mathrm{d}\zeta\right| \leq \frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi r\cdot\frac{c}{r^2} \rightarrow 0\quad \text{wenn } (r\rightarrow\infty) \end{eqnarray*}$

Von wo kommt das $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ unter der Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank für eure Antworten.

24.06.2016, 00:31

005

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RE: Satz von Liouville
$\begin{eqnarray*} \zeta\in\partial U_r(z) \end{eqnarray*}$ .

24.06.2016, 21:10

Dukkha

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RE: Satz von Liouville

Zitat:

Original von 005
$\begin{eqnarray*} \zeta\in\partial U_r(z) \end{eqnarray*}$ .

Das erklärt nicht warum ein $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ als nenner unter dem $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ steckt. Ich möchte wissen, weshalb man durch $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ teilt.

25.06.2016, 01:50

005

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RE: Satz von Liouville
Wenn Du meinst, der Hinweis wuerde Deine Frage nicht klaeren, sieht's echt problematisch aus ...

Gibt doch mal eine eigene Abschaetzung zu $\begin{eqnarray*} \left|\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\right| \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} \zeta\in \partial U_r(z) \end{eqnarray*}$ an.

25.06.2016, 07:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dukkha
Das erklärt nicht warum ein $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ als nenner unter dem $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ steckt.

Doch, es erklärt es schon. Es ist wohl eher so, dass du nicht weißt, was $\begin{align*} U_r(z) \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} \partial U_r(z) \end{align*}$ bedeutet, d.h., welche Mengen damit gemeint sind. Nachschauen wäre echt angebracht.

25.06.2016, 12:56

Dukkha

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RE: Satz von Liouville
Ok ich habe jetzt rausgefunden, dass dieser Term aus der Cauchysche Abschätzung für die Taylorkoeffizienten kommt.

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