Satz von Green | Beispiel

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24.06.2016, 15:42	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Green \| Beispiel Hallo, ich habe ein Beispiel zur Anwendung des Satz von Green im Anhang. Jedoch ist mir dieser Satz nicht wirklich geläufig. Was stellt der Satz überhaupt dar? Ein geschlossenes Oberflächenintegral einmal über das Skalarfeld V1 und einmal über das Skalarfeld V2 mit anschließender Addition? Aber ist es überhaupt ein Oberflächenintegral, wenn von einem Weg die Rede ist, ich dachte immer, dass $\begin{eqnarray} \partialS \end{eqnarray}$ ein Hinweis auf ein Oberflächenintegral ist. Oder wie ist das mit dem Satz gemeint? Gruß Abstract
24.06.2016, 17:00	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Green \| Beispiel Das ist nichts anderes als der Divergenzsatz in 2D mit $\begin{eqnarray} \pmb{V}=(V_2,-V_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d\pmb{S}=(dy,-dx) \end{eqnarray}$ . Rechts steht ein Wegintegral, kein Oberflaechenintegral.
24.06.2016, 17:53	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Green \| Beispiel Der Gauß'sche Integral Satz lautet ja: $\begin{eqnarray} \int_V div \vec F dV = \oint_{S=\partial V} \vec F d\vec S \end{eqnarray}$ Also links Volumenintegral und rechts Oberflächenintegral --> 3D. Und Satz von Green: Links Flächenintegral und rechts ein Wegintegral. Nur halt, dass ein Skalarfeld negativ ist. Aber warum werden rechts dann trotzdem die zwei Skalarfelder addiert? Bei Gauß ist es ja nicht so.
24.06.2016, 18:45	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Green \| Beispiel $\begin{eqnarray} \int_V\mathop{\rm div}\pmb{F}\,dV=\int_{\partial V}\pmb{F}\cdot d\pmb{S} \end{eqnarray}$ Das ist der Divergenzsatz und der gilt allgemein im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ . In 2D steht rechts ein Kurvenintegral und in 3D ein Oberflaechenintegral. Mit einer kleinen Umformung wie oben wird aus dem 2D-Fall die Formel von Green. Der 3D-Fall heisst bei euch dann wohl Integralsatz von Gauß. Was Du da rechnen sollst ist aber eben 2D.
24.06.2016, 19:00	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Green \| Beispiel Danke. Aber es stimmt, dass beim Green eben 2 verschiedene Skalarfelder statt einem verwendet werden richtig? Also man muss eben 2mal integrieren. Naja und genau genommen wird ja auch keine Divergenz von einem Vektorfeld/Skalarfeld berechnet. Wie kommt man dann auf den Divergenzsatz in 2D, wenn 2 Skalarfelder vorkommen und auch keine Divergenz vorkommt?
24.06.2016, 19:21	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Green \| Beispiel $\begin{eqnarray} \pmb{F}=(V_2,-V_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d\pmb{S}=(dy,-dx) \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \mathop{\rm div}\pmb{F}=\frac{\partial V_2}{\partial x}-\frac{\partial V_1}{\partial y} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pmb{F}\cdot d\pmb{S}=V_1\,dx+V_2\,dy \end{eqnarray}$ . Mehr faellt mir dazu nicht mehr ein. Eine elementare Herleitung des Divergenzsatzes findest Du z.B. bei W. Walter, Analysis II (Springer).
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24.06.2016, 19:49	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh jetzt verstehe ich, danke. Jedoch ist mir noch unklar, welche Integrationsgrenzen ich verwenden soll auf der linken Seite z.B. Normalerweise ist das ja in der Paremetrisierung gegeben, aber hier ist der Weg C so komisch angegeben, wie ich das noch nie gesehen habe. Mir ist klar an welchen Punkten der Weg vorbeigeht, jedoch wie mache ich aus den Funktionen daneben eine ordentliche Parametrisierung für die Integrationsgrenzen?
24.06.2016, 20:26	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichne die drei Teilstuecke von C auf und lass Dir was einfallen!
24.06.2016, 21:28	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, im Anhang ist ein Bild davon. $\begin{eqnarray} C1: \gamma_1(t) = (t; -cos t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \in [0, \frac{\pi}{2}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C2: \gamma_2(t) = (\frac{\pi}{2}\cdot sin t; cos t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \in [\frac{\pi}{2}, 2\pi] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C3: \gamma_3(t) = (0; 1-2sin t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \in [2\pi, \frac{5\pi}{2}] \end{eqnarray}$ Normalerweise parametrisiere ich so, wenn ich ein Kurvenintegral berechnen will entlang der Kurven C1, C2 und C3 etc. Und die Intervalle sind meine Integrationsgrenzen. D.h. diese Paremetrisierung kann ich für die rechte Seite verwenden. Aber bei der Flächenparametrisierung brauch ich ein paar Tipps bitte.
24.06.2016, 21:48	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
hier das bild sorry.
24.06.2016, 22:13	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ bin ich einverstanden, $\begin{eqnarray} C_2 \end{eqnarray}$ ist nicht richtig. Ich wuerde ja fuer $\begin{eqnarray} C_2 \end{eqnarray}$ folgendes angeben: $\begin{eqnarray} C^-_2: \gamma_2(t)=(t, \cos t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t\in[0.\pi/2] \end{eqnarray}$ . Da es eine Kurve in der falschen Richtung ist, musst Du beim Kurvenintegral darueber spaeter das Vorzeichen aendern. $\begin{eqnarray} C_3 \end{eqnarray}$ ist ok, aber warum nicht einfacher $\begin{eqnarray} C^-_3: \gamma_3(t)=(0,t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t\in[-1,1] \end{eqnarray}$ ? Es ist nicht notwendig, dass die Parameterintervalle fortlaufend sind. Das ist den Integralen ueber die Teilkurven egal. Fuer das Flaechenintegral links solltest Du Dich mal mit Normalbereichen beschaeftigen (das Innere von C ist einer) und wie man ueber solche Bereiche integriert.
24.06.2016, 23:26	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, verstehe. Man muss also den Bereich S festlegen, den die Kurven C1-C3 umschließen. D.h. welche Werte darf x,y annehmen, dass diese genau im Bereich sind, richtig? Und das mache ich eben mit den Funktionen aus denen die Kurven bestehen. $\begin{eqnarray} S: \frac{\pi}{2} \geq x \geq 0 ; cos(x) \geq y \geq -cos x \end{eqnarray}$ und somit habe ich meine Integralgrenzen. Funktioniert das immer nach dem Prinzip?
25.06.2016, 00:21	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist eigentlich das immer gleiche Kochrezept, mit dem man aus einem Bereichsintegral ein Mehrfachintegral macht. Guckst Du z.B. hier: elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm_data/lm_8846/daten/teil_8/node18.htm
25.06.2016, 23:13	Abstract	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!! Das ist hier wirklich sehr gut erklärt in dem Link. Jedoch hätte ich eine Frage zu dem Beispiel hier: https://elearning.physik.uni-frankfurt.d...il_8/node19.htm Sehe ich das richtig, wenn man zwei Funktionen f(x) und g(x) hat, dass man sich also die größere Funktion von beiden sucht und diese dann als oberen Grenzwert setzt? Die Ellipsenformel wurde dazu halt einfach umgeformt auf y. Jedoch frage ich mich, wie das aussehen könnte, wenn man die Fläche zwischen einer Geraden und eine Ellipse berechnet, obwohl diese ja geschlossen ist, oder?

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