Minimal-Aufabe mit Euler-Gleichung |
| 24.06.2016, 17:20 | Mr Maths | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Minimal-Aufabe mit Euler-Gleichung wir hatten heute in der VL erstmals die sog. "Variationsrechnung" angerissen, jedoch ist dies mMn nicht ganz leicht nachzuvollziehen. Darum ein Beispiel im Anhang, dass mir hoffentlich hilft das ganze mehr zu verstehen. Ist hier mit Euler-Gleichung die Euler-Lagrange-Gleichung gemeint? https://de.wikipedia.org/wiki/Variationsrechnung Die Aufgabe verlangt ja die Linie von einem Punkt zum anderen so zu verändert, dass die Oberfläche minimal wird, sehe ich das richtig? LG Mr Maths |
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| 25.06.2016, 07:35 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Minimal-Aufabe mit Euler-Gleichung lösen?
Vermutlich jein! Es gibt eine vereinfachte Form dieser Gleichung, die als Beltrami-Identität bekannt ist. https://en.wikipedia.org/wiki/Beltrami_identity Ich vermute, die sollt/dürft ihr benutzen. Die Vorausetzung für die vereinfachte Form ist bei deiner Aufgabe gegeben.
Ja. |
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| 25.06.2016, 18:13 | Mr Maths | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke, ich habe zusätzlich noch folgende Information gefunden:
Also ist doch die Rotationsfläche, denn wir wollen ja das Funktional minimieren. Und y(x) ist schätzngsweise jene Funktion die meine Verbindungslinie repräsentiert, also suchen wir y(x). Die Streifenfläche beträgt ja , dann muss die gesamte Rotationsfläche betragen. 1. Jedoch wie bringe ich F(y,y',x) ins Spiel? 2. Und vorallem meine Integrationsgrenzen, denn ich habe ja hier 2-Dimensionale Punkte (x1, y1) und (x2,y2). |
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| 26.06.2016, 07:01 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Im Prinzip ja. Aber bei deiner Aufgabe gibt es da ein Problem. Schau dir die Zeichnung an. Die Kurve, die um die y-Achse rotieren soll, lässt sich nicht zwangsläufig als Funktion darstellen. Bei einer Funktion darf zu jedem Argumentwert nur genau ein Bildwert gehören. Bei der fraglichen Kurve können zu einem x-Wert aber auch 2 oder mehr y-Werte gehören. Bei der gezeichneten Kurve ist das der Fall. Es ist möglich, dass der Fragesteller dieses Problem ignoriert hat. Dann kannst du die Kurve als Funktion y(x) ansetzen. Es wäre dann aber theoretisch denkbar, dass es andere Kurven gäbe, die sich nicht als Funktion y(x) darstellen und die eine kleinere Rotationsfläche ergeben würden als die gefundene Lösung. Das Problem lässt sich umgehen, wenn man y als die unabhängige Variable betrachtet und die Kurve als Funktion x(y) darstellt. Das ist immer möglich, jedenfalls dann, wenn die Rotationsfläche ein wohldefiniertes Rotationsvolumen einschließen soll. In diesem Fall musst du in dem Funktional die Rollen von x und y vertauschen. Die Ableitung ist dann eine Ableitung nach y. Man kann aber auch einfach die Zeichnung an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten spiegeln. Dann rotiert die gespiegelte Kurve um die x-Achse und die gespiegelte Kurve lässt sich als Funktion y(x) darstellen.
Du musst das Bogenelement für eine Funktion oder einsetzen. Danach steht die Funktion im Integranden.
Die Lösung der Euler-Lagrangegleichung enthält freie Konstanten. Die gegebenen Randpunkte werden benutzt, um diese Konstanten zu bestimmen. |
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