Mannigfaltigkeit zeigen

25.06.2016, 09:53	Manni_gfaltigkeit	Auf diesen Beitrag antworten »
Mannigfaltigkeit zeigen Meine Frage: Es geht um die Menge $\begin{eqnarray} M=\left\{ \left(\begin{pmatrix} \sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}}{a^{2}}z^{2} } \begin{pmatrix} cos(\phi) \\ sin(\phi) \end{pmatrix} \\ z \end{pmatrix} \right) \| z\in (-a,a), \ \phi \in [0,2\pi)\right\} \end{eqnarray}$ Man soll zeigen, dass es sich dabei um eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ handelt. Meine Ideen: Mit dieser Art von Beweis hatte ich bei Mannigfaltigkeiten bisher noch nicht zu tun. Ich hab immer nur Funktionen gehabt, deren Urbilder bestimmt, den Gradienten nachgerechnet und so weiter. Aber hier hab ich dann ja praktisch schon ein Urbild gegeben!? Muss ich dann eine Abbildung finden, für die diese Menge das Urbild ist? Wie soll das gehen? Danke für eure Hilfe
26.06.2016, 11:44	Manni_gfaltigkeit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mannigfaltigkeit zeigen Hat jemand vielleicht zumindest einen Tipp über die allgemeine Vorgehensweise? Ich will keine vollständige Lösung oder so, nur würde ich gern wissen, wie man da vorgeht. Danke
27.06.2016, 07:59	Manni_gfaltigkeit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mannigfaltigkeit zeigen Wow, da scheinen auch erfahrenere Leute nicht weiterzuwissen - hätt ich nicht gedacht. Von der Definition her würde ich sagen, ich muss eine Funktion finden, die die Menge als Urbild hat. Seht ihr das auch so/hat jemand da Ahnung??
27.06.2016, 14:58	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mannigfaltigkeit zeigen Auf dem Gebiet bin ich ziemlicher Laie. Da dir aber bisher niemand geantwortet hat, wage ich mit allem Vorbehalt einen Versuch. Ich denke, du sollst ganz konkret einen Atlas angeben. Das heißt du musst offene Teilmenge $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ angeben, deren Vereinigungsmenge gleich $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist. Zu jeder Teilmenge musst du eine Abbildung in den $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ angeben mit den erforderlichen Eigenschaften. Und für die Überlappungsgebiete der Karten musst du die Verträglichkeitsbedingung prüfen. Die Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist die Oberfläche eines Ellipsoids. Mit einer Karte wird es also nicht gehen. Die Oberseite $\begin{eqnarray} (z>0) \end{eqnarray}$ und die Unterseite $\begin{eqnarray} (z<0) \end{eqnarray}$ des Ellipsoids könnte man einfach senkrecht auf die x-y-Ebene projizieren, also einfach die z-Koordinate weglassen. Das wären zulässige Karten. Dann fehlt einem aber noch der Äquator $\begin{eqnarray} (z=0) \end{eqnarray}$ . Den kann man zu keiner der beiden Telmengen hinzunehmen, da diese dann nicht mehr offen wäre. Den Äquator allein kann man auch nicht abbilden, da er ebenfalls keine offene Teilmenge ist. Man kann einen Streifen um den Äquator auf einen das Ellipsoid umgebenden senkrechten Zylnder abbilden und diesen dann in die Ebene abrollen. Das heißt, man bildet die Punkte des Streifens einfach auf $\begin{eqnarray} (\phi, z) \end{eqnarray}$ ab, die man als Punkte des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ interpretiert.. Allerdings geht beim Abrollen des Zylinders die Stetigkeit verloren, weil man ihn aufschneiden muss. Man muss also den Streifen in 2 sich überlappende Stücke aufteilen, die man separat abbildet. So stelle ich mir als Laie einen konkreten Atlas vor, der aus 4 Karten bestehen würde. Die formelmäßige Angabe der Abbildungen sollte kein Problem sein.
27.06.2016, 16:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz ernst gemeint: Wenn man's kompliziert mag, kann man als Kartierung des Ellipsoiden auch UTM in Verbindung mit UPS nehmen.
27.06.2016, 17:50	Manni_gfaltigkeit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mannigfaltigkeit zeigen Danke für deine ausführliche Antwort!! Leider habe ich sie nur zum Teil verstanden, denn wir haben Mannigfaltigkeiten wohl etwas anders definiert (gleichungsdefiniert). Mit den Begriffen "Atlas" und "Karte" kann ich also leider nichts anfangen. Kennst du vielleicht noch eine andere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen? Ansonsten versuche ich mich, in deine Definition einzuarbeiten.
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27.06.2016, 18:14	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mannigfaltigkeit zeigen Du solltest schon mit eurer Definition von Mannigfaltigkeit arbeiten.

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