Lineare Abbildungen, Kern, Bild

25.06.2016, 09:55

Oggel

Lineare Abbildungen, Kern, Bild

Hallo

könntet ihr über die Aufgabe mal rüberschauen?

also bei (1) bin ich mir ziemlich sicher, habe ausgerechnet, dass $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_3 \end{eqnarray*}$ linear sind.

bei (2):
$\begin{eqnarray*} y - x = 0 \Leftrightarrow y = x \end{eqnarray*}$ also ist der Kern: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder?

bei dem Bild bin ich mir unsicher, würde einfach eine Basis aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nehmen um dann das Bild darzustellen und das wäre doch einfach $\begin{eqnarray*} y-x \end{eqnarray*}$ oder?

und für (3):
Habe ich Einheitsvektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ genommen und die in die Abbildung eingesetzt und bekomme als Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das soweit richtig?

Danke für eure Antworten smile

25.06.2016, 10:11

Elvis

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1. Beweise, dass L1 und L2 linear sind. Ist L3 linear oder nicht ? Beweis ?
2. Das Bild im(L) einer linearen Abbildung L:V-->W ist ein Untervektorraum des Bildraums W.
3. stimmt

25.06.2016, 10:36

Oggel

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zu (1)

$\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$
1. $\begin{eqnarray*} L_1(\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{pmatrix}) = (y_1+y_2) - (x_1+x_2) = y_1-x_1 + y_2-x_2 = L_1(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} ) + L_1(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} L_1(\begin{pmatrix} ax \\ ay \end{pmatrix} ) = (ay)-(ax) = a* (y-x) = a *L_1( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung.

$\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_2(\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} (x_1+x_2) * (y_1+y_2) \\ (x_1+x_2)*(z_1+z_2) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2 \\ x_1z_1+x_1z_2+x_2z_1+x_2z_2 \\ \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} x_1y_1 \\ x_1z_1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2y_2 \\ x_2z_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daher ist $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ keine lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} L_3 \end{eqnarray*}$
1. $\begin{eqnarray*} L_3(\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} (x_1+x_2)+2(y_1+y_2) \\ z_1+z_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+2y_1 \\ z_1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2+2y_2 \\ z_2 \\ \end{pmatrix} = L_3(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}) + L_3(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} L_3 (\begin{pmatrix} ax \\ ay \\ az \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} ax+2*(ay) \\ az \\ \end{pmatrix} = a* \begin{pmatrix} x+2*y \\ z \\ \end{pmatrix} = a * L_3(\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} L_3 \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung.

zu 2: Wie würde ich das darstellen?

25.06.2016, 11:10

Elvis

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1. hast du sehr schön ausführlich gemacht. Um zu zeigen, dass eine Abbildung linear ist, kann man oft schneller eine Darstellungsmatrix angeben A, denn L ist linear, wenn L(x)=Ax für alle x. Um zu zeigen, dass eine Abbildung nicht linear ist, kann man oft schneller ein Gegenbeispiel machen (muss man sogar !).
2. Es gibt nicht viele 1-dimensionale reelle Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , und im(L1) muss die Dimension 1 haben, weil dim(ker(L1))=1 ist und nach dem Dimensionssatz dim(V)=dim(ker(L1))+dim(im(L1)) gilt.

25.06.2016, 11:37

Oggel

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1. Alles klar. Danke smile

Aber ich könnte es so stehen lassen?

2. Also ich hätte mir jetzt die Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ genommen, also $\begin{eqnarray*} (1) \end{eqnarray*}$ , um das Bild damit auszudrücken:
Also $\begin{eqnarray*} y-x * (1) \end{eqnarray*}$ oder nicht? verwirrt

//Edit: Könnte ich nicht auch mit den Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix das Bild darstellen
Also:
$\begin{eqnarray*} x * (-1) + y * (1) \end{eqnarray*}$ ?

25.06.2016, 12:44

Elvis

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1. kann man so stehen lassen für $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} L_3 \end{eqnarray*}$ gilt das Ungleichheitszeichen nicht immer, da kann, soll und muss man ein konkretes Gegenbeispiel angeben. Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x=y=(1,1,1) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} L_2(x)+L_2(y)\ne L_2(x+y) \end{eqnarray*}$ , wie man leicht nachrechnet.
2. eine Basis wird nicht benötigt. Es ist $\begin{eqnarray*} L_1(-x,0)=x \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also ist das Bild $\begin{eqnarray*} im(L_1)=\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so wie es nach dem Dimensionssatz sein muss.

25.06.2016, 12:44

Elvis

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25.06.2016, 13:06

Oggel

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Zitat:

Original von Elvis
2. eine Basis wird nicht benötigt. Es ist $\begin{eqnarray*} L_1(-x,0)=x \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also ist das Bild $\begin{eqnarray*} im(L_1)=\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so wie es nach dem Dimensionssatz sein muss.

Ich verstehe nicht wieso du in $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ jetzt $\begin{eqnarray*} -x,0 \end{eqnarray*}$ einsetzt?

25.06.2016, 14:31

Elvis

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Ich darf einsetzen was ich will. Das reelle -x ist zweckmäßig, weil die Abbildung L1 den Vektor (-x,0) auf die reelle Zahl x abbildet. Das zeigt, dass jedes reelle x im Bild von L1 liegt, also ist der ganze Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ das Bild von L1.

25.06.2016, 14:46

Oggel

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Ahh ich glaube ich habs verstanden. Habe mir das ein bisschen anders klar gemacht. Und zwar ist ja y-x irgendeine Zahl a. Dadurch ist das Bild der gesamte Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Danke dir smile

25.06.2016, 17:54

Elvis

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Das ist nicht ganz so klar, y-x ist nicht eine Zahl a, sondern y-x ist jede reelle Zahl a. Das beweise ich dadurch, dass ich für jede reelle Zahl a das ganz bestimmte Urbild (0,-a) wähle und durch L1 auf a abbilden lasse. Weil der Kern nicht der Nullraum ist, ist L1 nicht injektiv, sondern es werden viele Urbilder auf a abgebildet, nämlich alle Vektoren (-a+b,b) für alle reellen b.

25.06.2016, 18:33

Oggel

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Alles klar. Ich glaube ich hab das verstanden. Dankeschön smile

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