Taylorpolynom 2-Dimensional

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25.06.2016, 11:09	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom 2-Dimensional Meine Frage: Ich suche die Taylorpolynome 2.Ordnung der Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^3-3x^2y+3xy^2+y^3-3x-21y \end{eqnarray}$ im Entwicklungspunkt (0,0) und in (1,2). Meine Ideen: Mit folgender Formel habe ich sie berechnet: $\begin{eqnarray} T_{(x_0,y_0)}^2f(x,y)=f(x_0,y_0)+<\nabla f(x_0,y_0),\begin{pmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{pmatrix}>+\frac{1}{2} \begin{pmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{pmatrix}^{\top} \mathcal H f(x_0,y_0) \begin{pmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bin dann auf folgende Ergebnisse gekommen Für E-punkt (1,2): $\begin{eqnarray} -6x^2+18y^2+12xy-12x-82y+60 \end{eqnarray}$ Für E-punkt (0,0): $\begin{eqnarray} -3x-21y \end{eqnarray}$ Vor allem bei dem zweiten bin ich mir unsicher. Kann das denn sein? Denn ich habe ja hier gar keine Exponenten mehr.
25.06.2016, 22:12	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 2-Dimensional Die Formel, die Du hingeschrieben hast, zeigt doch, dass da fuer die erste Teilaufgabe Potenzen von x-1 und y-2 stehen muessen. Du hast aber Potenzen von x und y. Beim zweiten Teil musst Du halt merken, dass ein Polynom um (0,0) natuerlich seine eigene Taylorentwicklung um (0,0) ist. Du musst also aus f bloss alle Terme hoeheren als zweiten Grades streichen.
26.06.2016, 10:24	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 2-Dimensional Zu deiner zweiten Aussage: Man muss alle Terme von f größer zwei oder größer gleich zwei streichen?
27.06.2016, 17:36	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 2-Dimensional Oder wie kann man denn generell überprüfen, ob das Taylorpolynom richtig berechnet wurde?
27.06.2016, 17:55	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 2-Dimensional Es sollte die allgemeine Form stimmen: Potenzen um den Entwicklungspunkt und (z.B.) keine Potenzen hoeheren als zweiten Grades in einem Taylorpolynom zweiten Grades. Und -- wie gesagt -- bei der zweiten Aufgabe ist nichts zu rechnen. Kann man also auch nichts falsch machen.
27.06.2016, 18:06	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 2-Dimensional Aber wenn meine Ergebnisse falsch sind, mache ich irgendeinen Fehler in der Rechnung?!
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27.06.2016, 18:44	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 2-Dimensional Woher soll ich das wissen, Du hast schliesslich keine Rechnung gezeigt. Dein Ergebnis fuer (0,0) ist richtig, das hab ich Dir erklaert. Dein Ergebnis fuer (1,2) ist schon aus formalen Gruenden falsch. Falls Du die Potenzen von (x-1) und (y-2) aufgeloest hast: das ist nicht zu machen.
28.06.2016, 15:27	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 2-Dimensional Also ich habe die Rechnung jetzt mal in zwei Schreibweisen gemacht: 1) $\begin{eqnarray} T_{(1,2)}^2 f(x,y)=-30+<\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}>+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x-1 & y-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & 18 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}<br /> =-30+0 \cdot (x-1)+0 \cdot (y-2)-3x(x-1)+3y(x-1)+3x(y-2)+9y(y-2)-12(y-2) \end{eqnarray}$ Aber hier habe ich jetzt entweder Probleme mit dem Zusammenfassen oder ich habe mich bereits verrechnet. 2) $\begin{eqnarray} T_{(1,2)}^2 f(x,y)=-30+0 \cdot (x-1) + 0 \cdot (y-2) +\frac{1}{2}(-6 \cdot (x-1)^2 +2 \cdot 6 \cdot (x-1)(y-2)+18 \cdot (y-2)^2)<br /> =-30 -3(x-1)^2+6(x-1)(y-2)+9(y-2)^2 \end{eqnarray}$ Eigentlich müsste doch hier das gleiche herauskommen. Und warum darf ich nicht ausmultiplizieren?
28.06.2016, 17:58	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 2-Dimensional Unter der Annahme, dass Deine Ableitungen stimmen, ist 2) richtig. Wie Du bei 1) die quadratische Form behandelt hast, ist mir schleierhaft. Bei mir kommt da das Gleiche raus wie bei 2). Das Taylorpolynom zweiter Ordnung um $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ ist eben ein Polynom zweiter Ordnung um $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ . Das ist nicht noch kuenstlich umzuformen bloss weil's geht.
28.06.2016, 18:29	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 2-Dimensional Zu meiner Rechnung bei 1) $\begin{eqnarray} T_{(1,2)}^2 f(x,y)=-30+<\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}>+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x-1 & y-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & 18 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}<br /><br /> =-30+0 \cdot (x-1)+0 \cdot (y-2) + \frac{1}{2} (\begin{pmatrix} x-1 & y-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -6(x-1)+6(y-2) \\ 6(x-1)+18(y-2) \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Hier habe ich das Skalaprodukt aufgelöst und die letzten zwei Matrizen multipliziert. $\begin{eqnarray} =-30+0 \cdot (x-1)+0 \cdot (y-2) + \frac{1}{2}(((x-1) \cdot (-6(x-1)+6(y-2)))+((y-2) \cdot (6(x-1)+18(y-2)))) \end{eqnarray}$ Und hier habe ich dann die andere Matrixmultiplikation durchgeführt.
28.06.2016, 18:36	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 2-Dimensional Oh jetzt stimmts ja

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