Kettenregel mehrdimensional (Gradient)

25.06.2016, 11:25

leodavinci

Kettenregel mehrdimensional (Gradient)

Meine Frage:
[attach]42188[/attach]

Meine Ideen:
Für den Gradient von f brauch ich ja die Ableitungen die partiellen Ableitungen nach x und y.
Und in der Vorlesung haben wir zur Kettenregel folgendes aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \mathcal J (g \circ f)(x)=\mathcal J (g)(f(x))\cdot \mathcal J (f)(x) \end{eqnarray*}$
Also normal Äußere mal Innere Ableitung.
ABer wie wende ich das hier an?
-------------------------------------------
Jetzt habe ich doch einen Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \mathcal J (\psi \circ \phi)=\mathcal J(\psi)(\phi(x^3-2y,2x+y)) \cdot \mathcal J (\phi)(x^3-2y,2x+y)) \end{eqnarray*}$
Doch wie das jetzt gerechnet wird, weiß iich noch nicht. Und wie hängt das jetzt mit meiner Funktion f zusammen?

Edit (Nick): Zwei Beiträge zusammengefügt.

27.06.2016, 12:54

leodavinci

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RE: Kettenregel mehrdimensional (Gradient)
Die Kettenregel habe ich glaub ich mehr oder weniger verstanden. Bloß brauche ich dringend Hilfe bei der Herangehensweise dieser Aufgabe. Wäre wirklich sehr dankbar.

27.06.2016, 20:31

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RE: Kettenregel mehrdimensional (Gradient)
Setze $\begin{eqnarray*} h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, (x,y)\mapsto (x^3-2y,2x+y) \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} f=\psi\circ(\varphi\circ h) \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} f'=\psi' (\varphi\circ h)(\varphi\circ h)' \end{eqnarray*}$ und dem zweiten Faktor rückt man wieder mit der Kettenregel zu Leibe.

28.06.2016, 06:45

Leopold

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Um Verkettungen von Multiplikationen zu unterscheiden, würde ich der eindeutigen Lesbarkeit halber bei Weglassen der Argumente vorschlagen:

$\begin{align*} f' = (\psi' \circ \varphi \circ h) \cdot (\varphi' \circ h) \cdot h' \end{align*}$

28.06.2016, 15:54

leodavinci

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Kettenregel mehrdimensional (Gradient)
Wie man hierauf kommt verstehe ich noch $\begin{eqnarray*} f'=\psi' (\varphi\circ h)(\varphi\circ h)' \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt einfach mal die Ableitungen der drei Funktionen gebildet:

$\begin{eqnarray*} \mathcal J h=\begin{pmatrix} 3x^2 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}<br /> \mathcal J \varphi =\begin{pmatrix} 2x & 2 \\ y & x \\ -2x & 2y \end{pmatrix}<br /> \mathcal J \psi = \begin{pmatrix} -2x & -2y & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt hänge ich leider schon wieder unglücklich

28.06.2016, 19:59

Leopold

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Deine Matrizen stimmen. Ich bezeichne sie mit $\begin{align*} h', \varphi', \psi' \end{align*}$ . In

$\begin{align*} f'(x,y) = \left(\psi' \circ \varphi \circ h \right)(x,y) \cdot \left( \varphi' \circ h \right)(x,y) \cdot h'(x,y) \end{align*}$

setzt du jetzt $\begin{align*} x=1, y=1 \end{align*}$ ein. Fangen wir einmal hinten an:

$\begin{align*} h'(1,1) = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

Jetzt davor. Mit $\begin{align*} h(1,1) = (-1,3) \end{align*}$ folgt:

$\begin{align*} \left( \varphi' \circ h \right)(1,1) = \varphi'(-1,3) = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \end{align*}$

Jetzt berechne auch noch die erste Matrix und multipliziere die drei Matrizen.

29.06.2016, 23:25

leodavinci

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Kettenregel mehrdimensional (Gradient)
Die letzte Matrix habe ich folgendermaßen berechnet:

$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x,y) = \left(\psi' \circ \varphi \circ h \right)(x,y) = \psi' \circ \varphi \circ h(1,1) = \psi' \circ \varphi(-1,3) = \psi'(7,-3,8)=\begin{pmatrix} -14 & 6 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -14 & 6 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 106 & -122 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Wenn ja vielen Dank, aber die Kettenregel muss ich mir doch nochmal anschauen Big Laugh

01.07.2016, 20:54

Leopold

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RE: Kettenregel mehrdimensional (Gradient)

Zitat:

Original von leodavinci
Die letzte Matrix habe ich folgendermaßen berechnet:

$\begin{eqnarray*} <br /> \color{red} f'(x,y) = \left(\psi' \circ \varphi \circ h \right)(x,y) = \color{black} \psi' \circ \varphi \circ h(1,1) = \psi' \circ \varphi(-1,3) = \psi'(7,-3,8)=\begin{pmatrix} -14 & 6 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -14 & 6 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 106 & -122 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Wenn ja vielen Dank, aber die Kettenregel muss ich mir doch nochmal anschauen Big Laugh

Laß den rot markierten Teil weg. Dann stimmt alles. Natürlich solltest du die letzte Zeile noch bezeichnen: $\begin{align*} f'(1,1) \end{align*}$ oder $\begin{align*} \operatorname{grad} f (1,1) \end{align*}$ .

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