Frage zur Richtungsableitung |
| 25.06.2016, 13:16 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Frage zur Richtungsableitung
Habe eine kurze Frage zur Richtungsableitung. Angenommen ich habe eine Richtung v und einen Punkt x gegeben. Wann muss ich das mit dem Differentialquotienten machen und wann kann ich das mit der Jakobi Matrix machen? Danke
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| 25.06.2016, 13:19 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage zur Richtungsableitung Das kannst du machen, wie du willst |
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| 25.06.2016, 13:46 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage zur Richtungsableitung Genauer: Wenn du weißt, dass die Funktion differenzierbar ist, macht es Sinn von der Jacobi-Matrix zu reden. Das braucht nicht der Fall zu sein, damit die Richtungsableitung in v-Richtung existiert. |
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| 25.06.2016, 13:54 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage zur Richtungsableitung @IfindU: Danke für die Klarstellung 
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| 25.06.2016, 14:07 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Frage zur Richtungsableitung
Ahh okay. Und die Funktion ist nicht differenzierbar, wenn die Komponenten in der Jacobi nicht stetig sind oder? Das heißt dann müsste man das mit dem Differentialquotienten machen? |
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| 25.06.2016, 17:18 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Frage zur Richtungsableitung Eine Funktion ist (fast?) definiert als differenzierbar, wenn die Jacobi existiert, unabhängig von Stetigkeit derselben. Eine der angenehmsten Sätze der Mehrdimensionalen Analysis ist: Existieren alle partiellen Ableitungen UND diese sind stetig, dann ist die Funktion stetig differenzierbar. |
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| 25.06.2016, 18:17 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar. Das heißt, wenn die partiellen Ableitungen nicht stetig sind, sollte man mit dem Differenzenquotienten arbeiten oder? Da die Funktion dann ja nicht differenzierbar ist. |
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| 25.06.2016, 18:24 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mal zusammenfassend: Richtungsableitungen existieren nur: das impliziert nicht einmal Stetigkeit. Richtungsableitungen existieren und sind stetig: Impliziert Stetigkeit, Differenzierbarkeit und tetige Differenzierbarkeit. Differenzierbarkeit: Die Funktion ist stetig und alle Richtungsableitungen existieren Stetige Differenzierbarkeit: Alle Richtungsableitungen sind zusätzlich stetig. Mehr sinnvolle Implikationen gibt es wohl nicht. Die Funktion kann insbesondere differenzierbar sein, ohne stetig-differenzierbar zu sein. (In 1D gibt es ja bereits Beispiele zu Hauf.) Wenn du also partielle Ableitungen berechnest und sind stetig: Freu dich, alles geht gut. Wenn du partielle Ableitungen berechnest, diese nicht stetig sind: Die Funktion kann differenzierbar sein (eine Jacobi Matrix besitzen), muss sie aber nicht. Zu zeigen, dass sie eine Jacobi besitzt ist sicherlich mehr Arbeit als eine Richtungsableitung per Hand zu bestimmen. |
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| 25.06.2016, 18:27 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar. Danke dir für die Mühe
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