Richtungsableitung

25.06.2016, 15:03

Oggel

Richtungsableitung

Hallo liebe Community,

bei folgender Aufgabe komme ich nicht so ganz weiter:

Also erst einmal zu (1):
Ich habe zuerst die partiellen Ableitungen bestimmt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial x} = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial y} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_2}{\partial x} = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_2}{\partial y} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_3}{\partial x} = cos(x+y)+1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_3}{\partial y} = cos(x+y)-sin(y) \end{eqnarray*}$

Damit habe ich dann die Jacobi Matrix aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ cos(x+y)+1 & cos(x+y)-sin(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2}, y = 0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann folgendes gerechnet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit wäre meine Richtungsableitung doch : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder?

Wollte erst einmal checken, ob mein Rechenweg bis hier richtig ist. Weil das soll ich dann noch einmal mit dem Differenzenquotienten machen aber da komme ich nicht weiter.

Danke schonmal für eure Hilfe smile

25.06.2016, 16:20

10001000Nick1

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RE: Richtungsableitung
Sieht bis jetzt gut aus.

Zitat:

Original von Oggel
Weil das soll ich dann noch einmal mit dem Differenzenquotienten machen aber da komme ich nicht weiter.

Dann schreib dir mal die Definition auf, und schau, was du da ausrechnen kannst. Augenzwinkern

25.06.2016, 17:52

Oggel

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Hab schon bisschen probiert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} x \frac{f(x+h*v)-f(x)}{h} = \frac{f(\begin{pmatrix} \frac{\pi}{2} \\ 0 \end{pmatrix} +h*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) - f(\begin{pmatrix} \frac{\pi}{2} \\ 0 \end{pmatrix}) }{h} = \frac{1}{h} * f(\begin{pmatrix} \frac{\pi}{2}+h \\ h \end{pmatrix}) - f(\begin{pmatrix} \frac{\pi}{2} \\ 0\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{h} *( \begin{pmatrix} \frac{\pi}{2}+h \\ h \\ sin(\frac{\pi}{2} + 2h)+cos(h)+\frac{\pi}{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{\pi}{2} \\ 0 \\ sin(\frac{\pi}{2}) + cos(0) + \frac{\pi}{2} \\\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{h} * \begin{pmatrix} h \\ h \\ sin(\frac{\pi}{2}+2h)+cos(h)-2\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ reinmultipliziere komme ich bei den ersten beiden Komponenten auf 1 aber bei der 3. nicht. Mache ich was falsch?

25.06.2016, 18:38

10001000Nick1

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Da hast du ein $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ vergessen:

Zitat:

Original von Oggel
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{h} *( \begin{pmatrix} \frac{\pi}{2}+h \\ h \\ sin(\frac{\pi}{2} + 2h)+cos(h)+\frac{\pi}{2} \textcolor{red}{+h} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{\pi}{2} \\ 0 \\ sin(\frac{\pi}{2}) + cos(0) + \frac{\pi}{2} \\\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

(Außerdem gehört da überall noch $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \end{eqnarray*}$ davor.)

25.06.2016, 19:33

Oggel

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Ahh

Dadurch kann ich den Grenzwert der letzten Komponenten mit L'Hospital berechnen:
und komme auch auf 1. Alles klar Also habe ich hier auch die gleiche Richtungsableitung.

Jetzt zu der Frage, ob f differenzierbar ist. Ich würde sagen ja, da alle partiellen Ableitungen stetig sind oder?

und zu (2) habe ich die partiellen Ableitungen gebildet:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial x} = 2yx, \frac{\partial f_1}{\partial y} = x^2, \frac{\partial f_1}{\partial z} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_2}{\partial x} = \frac{2xz}{1+x^2}, \frac{\partial f_2}{\partial y} = 0, \frac{\partial f_2}{\partial z} = ln(1+x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_3}{\partial x} = e^{xz} * z, \frac{\partial f_3}{\partial y} = 0, \frac{\partial f_3}{\partial z} = e^{xz} * x \end{eqnarray*}$

Damit habe ich die Jakobi:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2yx & x^2 & 0 \\ \frac{2xz}{1+x^2} & 0 & ln(1+x^2) \\e^{xz} * z & 0 & e^{xz} * x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und auch hier ist jede partielle Ableitung stetig. Die Punkte die man überdenken müsste wäre einmal der Bruch, hier steht aber im Nenner ein $\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$ dadurch wird der Nenner nie 0 und ist stetig.
Und $\begin{eqnarray*} ln(1+x^2) \end{eqnarray*}$ wird nie negativ, damit also auch stetig.

Wäre das so richtig?

26.06.2016, 02:23

10001000Nick1

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Das hier:

Zitat:

Original von Oggel
Und $\begin{eqnarray*} ln(1+x^2) \end{eqnarray*}$ wird nie negativ, damit also auch stetig.

würde ich anders formulieren: Wichtig ist nicht, dass $\begin{eqnarray*} \ln(1+x^2) \end{eqnarray*}$ nirgends negativ wird, sondern dass $\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$ immer positiv ist. Damit ist dann $\begin{eqnarray*} \ln(1+x^2) \end{eqnarray*}$ überall definiert und als Verkettung stetiger Funktionen stetig.

Aber sonst: Alles richtig. Freude

26.06.2016, 10:53

Oggel

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Alles klar! Danke dir smile

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