Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.

25.06.2016, 15:30

Don-Anna

Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.

Meine Frage:
Ich habe das Thema "Isoperimetrishes Problem" für Quadrate(1x1)aus Streichhölzer. Ich muss eine optimale Figur finden, um bei einer bestimmten Fläche die Anzahl der Hölzer minimal zu halten. Für Quadratzahlen und Heteromeken habe ich diese gefunden und bewiesen und jetzt muss ich die "übrigen Zahlen" betrachten.

Meine Ideen:
Bei einer Figur mit einem konstanten Umfang kann die Fläche variieren: ich kann zwei Streichhölzer ausklappen und dann habe ich Fläche gewonnen usw. Aber wenn nur der Umfang betrachtet wird, dann bräuchte man immer zwei Hölzer, um eine andere Zahl zu bekommen (z.B. 16 als ein Quadrat zusammen gelegt und für 17:+2)Das verstehe ich, aber wie das bewiesen werden soll weiß ich nicht(

26.06.2016, 09:30

Huggy

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.

Zitat:

Original von Don-Anna
Meine Frage:
Ich habe das Thema "Isoperimetrishes Problem" für Quadrate(1x1)aus Streichhölzer. Ich muss eine optimale Figur finden, um bei einer bestimmten Fläche die Anzahl der Hölzer minimal zu halten.

Die Probleme, zu einer gegebenen Fläche die minimale Zahl von Streichhölzern zu finden bzw. zu einer gegebenen Zahl von Streichhölzern die maximale Fläche zu finden, sind äquivalent. Hat man das eine gelöst, hat man auch das andere gelöst. Betrachte das Problem in der zweiten Form.

Zitat:

Bei einer Figur mit einem konstanten Umfang kann die Fläche variieren: ich kann zwei Streichhölzer ausklappen und dann habe ich Fläche gewonnen usw.

Richtig. Das geht immer, wenn es einen Innenwinkel von 270 ° gibt. Bei zwei benachbarten solchen Innenwinkeln muss man nur ein Streichholz umlegen, um ein zusätzliches Kästchen an Fläche zu gewinnen.

Diesen Prozess kann man fortsetzen, solange Innenwinkel von 270 ° vorhanden sind. Da die erreichbare Fläche begrenzt ist, kommt der Prozess immer zu einem Ende. Dann gibt es keine Innenwinkel von 270 ° mehr. Diese Endfigur muss also ein Rechteck sein. Jetzt musst du nur noch untersuchen, welches Rechteck die größte Fläche hat, wenn sich aus einer gegebenen Zahl von Streichhölzern unterschiedlich große Rechtecke legen lassen.

26.06.2016, 11:17

Don

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.
Hallo,

für Quadratzahlen und Heteromeken habe ich bewiesen, dass diese die Form eines Quadrates oder eines Rechtecks annehmen sollen. Jetzt ist die Frage wie sollen die "übrigen" Zahlen liegen? Es ist klar, dass z.B. bei 17 die Form 4x4+1 sein soll, aber wie beweist man das? verwirrt

Danke für den Tipp mit den Innenwinkeln Freude

26.06.2016, 11:31

Huggy

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.

Zitat:

Original von Don
Jetzt ist die Frage wie sollen die "übrigen" Zahlen liegen? Es ist klar, dass z.B. bei 17 die Form 4x4+1 sein soll, aber wie beweist man das?

Mir ist nicht klar, was du meinst. Soll 17 die Zahl der Streichhölzer sein oder die Fläche?
Zahl der Streichhölzer geht nicht, denn die muss immer gerade sein, sonst kann man keine geschlossene Fläche legen. Wenn es die Fläche sein soll, so ist, wie ich schon sagte, das Optimun ein Rechteck. Das minimiert die Zahl der erforderlichen Streichhölzer. Da 17 eine Primzahl ist, lässt sich nur ein Rechteck mit der Fläche 17 liegen. Eine Seite hat die Länge 1, die andere die Länge 17.

26.06.2016, 12:13

Don

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.
Genau, es geht um die Fläche 17.
Ich muss aber die Anzahl der Streichhölzer minimal halten.
17 Quadrate: 4x4+1=Innen+Außenhölzer=25+18=43 Streichhölzer.
1x17=I+A=16+36=52
Für die Fläche 17 brauche ich bei 4x4+1 9 Streichhölzer weniger. Ich muss die Anzahl der Außenkanten minimieren, um die Gesamtanzahl der Streichhölzer minimal zu haben. Wie zeige ich allgemein, dass das Eine besser ist als das Andere?

26.06.2016, 13:20

Huggy

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.
Ah, ich hatte das völlig falsch verstanden. Ich dachte wegen deiner Bemerkung zu Umfang und Fläche, die Streichhölzer werden nur benutzt, um die Außenkanten zu legen. Aber auch dann hatte meine Überlegung einen bösen Fehler. Die beiden von mir genannten Formulierungen sind gar nicht äquivalent.

Im Moment sehe ich auch noch keine Lösung des Problems.

26.06.2016, 13:59

Huggy

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.
Okay, letzlich kann man die Innenkanten ignorieren, da es darum geht die Zahl der Außenkanten zu minimieren. Ich betrachte also im folgenden wieder nur die Zahl der Streichhölzer für die Außenkontur.

Bei der Fläche 17 könnte der Beweis so aussehen: Man stelle sich die Fläche 17 entstanden vor durch eine Fläche 16, an die noch ein Kästchen hinzugefügt wird. Mit 16 Streichhölzern kann maximal eine Fläche von 16 erzeugt werden. Für eine Fläche von 16 braucht man also mindestens 16 Streichhölzer. Für eine Fläche von 17 braucht man also mehr als 16 Streichhölzer. Da die Zahl der Streichhölzer gerade sein muss (für den Rand!), braucht man mindestens 18 Streichhölzer. Mit 18 Streichhölzern liegt eine Lösung vor, ein 4x4-Quadrat, an das ein Kästchen angfügt wird. Also gibt es keine bessere Lösung.
Das lässt sich auf Flächen $\begin{eqnarray*} A = n^2 +1 \end{eqnarray*}$ verallgemeinern.

Eine allgemeine Lösung habe ich nicht.

26.06.2016, 14:10

Don

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.
Super Freude

Vielen vielen Dank smile

Das hat mir weiter geholfen Big Laugh

26.06.2016, 15:09

Huggy

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.
Mir scheint, man kann sich für die allgemeine Lösung von Quadratzahl zu Quadratzahl über die jeweils dazwischenliegende Heteromeke (Was es doch für Bezeichnungen gibt!) hochhangeln. Ich illustriere es am Beispiel. Die allgemeine Ausformulierung überlasse ich dir. A = Fläche, n = Streichhölzer.

$\begin{eqnarray*} A =16: \quad n_{min}(16)=16 \quad A_{max} (16)=16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow n_{min}(17)=16 + 2=18 \end{eqnarray*}$
mit Lösung $\begin{eqnarray*} A = 17 = 4x4Q +1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A_{max}(18)=20 \quad n_{min}(20)=18 \end{eqnarray*}$
mit entsprechenden Lösungen für $\begin{eqnarray*} A = 18, 19, 20 \end{eqnarray*}$ durch Aufklappen des 270 ° Innenwinkels der Lösung für $\begin{eqnarray*} A = 17 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} 20 = 4*5 \end{eqnarray*}$ ist die nächste Heteromeke.

$\begin{eqnarray*} \rightarrow n_{min}(21)=18 + 2=20 \end{eqnarray*}$
mit Lösung $\begin{eqnarray*} A = 21 = 4x5R +1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A_{max}(20)=25 \quad n_{min}(25)=20 \end{eqnarray*}$
mit entsprechenden Lösungen für $\begin{eqnarray*} A = 22, 23, 24, 25 \end{eqnarray*}$ durch Aufklappen des 270 ° Innenwinkels.

Damit sind wir bei der nächsten Quadratzahl angelangt.

27.06.2016, 13:52

Don

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.
Hallo,

ich habe mich jetzt gefragt, was wäre, wenn ich anstatt Quadrate (1x1) Dreiecke (1x1x1) nehme? Dann müsste ein Parallelogramm als optimale Figur raus kommen oder?

Willkommen im Matheboard!
Du bist hier mit zwei Accounts angemeldet. Der User Don-Anna wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

27.06.2016, 14:20

Huggy

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.
Das könnte komplizierter sein. Bei 6 Dreiecken ist sicherlich das Sechseck die optimale Konfiguration.

27.06.2016, 14:34

Don

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RE: Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.
Das stimmt. In diesem Fall ist die Anzahl der Außenkanten minimal.

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Quadrate zusammen legen, um möglichst kleinen Umfang haben.

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