Gleichseitiges Sechseck in ein Dreieck konstruieren

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26.06.2016, 09:39	geqoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichseitiges Sechseck in ein Dreieck konstruieren Hallo zusammen, ich habe eine grundlegende geometrische Frage bei der ihr mir bestimmt weiterhelfen könnt. Hintergrund ist der dass ich eine quadratische Platte habe (350x350mm) und auf diesem Quadrat möchte ich 2 gleichschenklige Sechsecke zeichnen. Diese Sechsecke sollen den größtmöglichen Platz ausfüllen und gleich groß sein. Wie kann ich so etwas am besten konstruieren? Grüße vom Krabbeltier
26.06.2016, 10:24	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessante Aufgabe! Mein Gefühl sagt mir, so. Zur exakten Konstruktion fällt mir leider nichts ein.
26.06.2016, 10:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist zwar sehr nah dran, aber nicht das Optimum. Besser ist es, wenn die zwei Sechsecke eine gemeinsame Kante auf der Quadratdiagonalen haben - der Unterschied zu deiner Konfiguration hinsichtlich der Sechseckseitenlänge ist weniger als 0,5%.
26.06.2016, 10:47	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Also so:
26.06.2016, 10:53	geqoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so wie willy's Bild habe ich das auch schon überlegt. Das wird wohl die beste Variante sein. Aber wie konstruiere ich so etwas? Und alternativ dazu: Wie berechne ich die Seitenlänge des Sechsecks?
26.06.2016, 11:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich und mein CAS richtig gerechnet haben, dann gilt für die Sechseckseitenlänge $\begin{align} b \end{align}$ in Abhängigkeit von der Quadratseitenlänge $\begin{align} a \end{align}$ und Neigungswinkel $\begin{align} \varphi \end{align}$ der Sechseckseitenlänge in der Quadratecke zur Quadratseite: $\begin{align} b(\varphi) = \frac{\cos(\varphi)+\sin(\varphi)}{2\sqrt{3}+\sin(2\varphi)}a \end{align}$ Konfiguration 1 entspricht $\begin{align} b\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}+1}{5\sqrt{3}}a \approx 0.31547a \end{align}$ . Konfiguration 2 entspricht $\begin{align} b\left(45^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+1}a \approx 0.31680a \end{align}$ .
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26.06.2016, 11:34	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Ha, ha, ich wollte gerade schreiben, dass die Spitze näherungsweise bei 4/18 a liegt. Das passt dann ja.
26.06.2016, 16:59	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL 9000: Wenn du Zeit und Lust hast, würde ich gerne die Herleitung sehen. Wo ist der Ansatzpunkt, um a und b zu verknüpfen?
26.06.2016, 21:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Platzieren wir ein Sechseck $\begin{align} S_1\ldots S_6 \end{align}$ "links unten" im ersten Quadranten der Gaußschen Zahlenebene, d.h. mit $\begin{align} s_1 = bi\sin(\varphi) \end{align}$ und $\begin{align} s_2 = b\cos(\varphi) \end{align}$ , also $\begin{align} S_1 \end{align}$ auf der Imaginär- und $\begin{align} S_2 \end{align}$ auf der Realachse. Mit $\begin{align} \lambda = e^{\frac{\pi}{3}i} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \end{align}$ gilt dann für den Mittelpunkt $\begin{align} M \end{align}$ des Sechsecks $\begin{align} m = s_1 + (s_2-s_1)\lambda \end{align}$ ... entspricht Drehung der Strecke $\begin{align} S_1S_2 \end{align}$ um 60° um Punkt $\begin{align} S_1 \end{align}$ $\begin{align} s_4 = 2m-s_1 = s_1 + 2(s_2-s_1)\lambda \end{align}$ ... Spiegelung von $\begin{align} S_1 \end{align}$ an $\begin{align} M \end{align}$ ergibt $\begin{align} S_4 \end{align}$ $\begin{align} s_5 = 2m-s_2 = 2s_1-s_2 + 2(s_2-s_1)\lambda \end{align}$ ... Spiegelung von $\begin{align} S_2 \end{align}$ an $\begin{align} M \end{align}$ ergibt $\begin{align} S_5 \end{align}$ . Nun muss der Quadratmittelpunkt $\begin{align} \frac{1+i}{2}a \end{align}$ auf der Strecke von $\begin{align} S_4S_5 \end{align}$ liegen, d.h., es muss eine reelle Zahl $\begin{align} r \end{align}$ geben mit $\begin{align} s_4 + r(s_5-s_4) = \frac{1+i}{2}a \end{align}$ $\begin{align} s_1 + 2(s_2-s_1)\lambda + r(s_1-s_2) = \frac{1+i}{2}a \end{align}$ $\begin{align} s_1 + (s_2-s_1)(2\lambda-r) = \frac{1+i}{2}a \end{align}$ und eingesetzt $\begin{align} bi\sin(\varphi) + b(\cos(\varphi)-i\sin(\varphi))(1-r+i\sqrt{3}) = \frac{1+i}{2}a \end{align}$ . Jetzt wird es vielleicht doch Zeit, dies nach Real- und Imaginärteil aufzuschlüsseln, vereinfachend sei $\begin{align} s=1-r \end{align}$ gesetzt: $\begin{align} b(s\cos(\varphi)+\sqrt{3}\sin(\varphi)) = \frac{a}{2} \end{align}$ umgeformt zu $\begin{align} s\cos(\varphi) = \frac{a}{2b} - \sqrt{3}\sin(\varphi)\qquad (1) \end{align}$ . $\begin{align} b\sin(\varphi) + b(-s\sin(\varphi)+\sqrt{3}\cos(\varphi)) = \frac{a}{2} \end{align}$ umgeformt zu $\begin{align} -s\sin(\varphi) = \frac{a}{2b} - \sqrt{3}\cos(\varphi) - \sin(\varphi)\qquad (2) \end{align}$ . $\begin{align} (1)\cdot\sin(\varphi) + (2)\cdot\cos(\varphi) \end{align}$ liefert $\begin{align} 0 = \frac{a}{2b}\sin(\varphi) - \sqrt{3}\sin^2(\varphi) + \frac{a}{2b}\cos(\varphi) - \sqrt{3}\cos^2(\varphi) - \sin(\varphi)\cos(\varphi) \end{align}$ $\begin{align} 0 = \frac{a}{b}(\sin(\varphi)+\cos(\varphi)) - 2\sqrt{3} - \sin(2\varphi) \end{align}$ $\begin{align} b = \frac{\sin(\varphi)+\cos(\varphi)}{2\sqrt{3} + \sin(2\varphi)}a \end{align*}$ .
27.06.2016, 08:10	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Hui, heftig! Da brauche ich erst mal etwas Zeit, um das zu verdauen. Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast!

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Gleichseitiges Sechseck in ein Dreieck konstruieren

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