Lokale Extrema in Abhängigkeit eines Parameters

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Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Extrema in Abhängigkeit eines Parameters
Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabenstellung ist im Anhang.

Meine Ideen:
Ich habe die erste und zweite Ableitung der gegebenen Funktion ermittelt, dann die erste Ableitung gleich Null gesetzt und dann mittels der p-q-Formel die Lösungen
und erhalten. Damit komme ich dann auf
und .
Daraus folgt, dass wenn Lambda größer Null ist, ein lokales Minimum und ein lokales Maximum ist bzw. genau umgekehrt wenn Lambda kleiner Null ist.

Doch was ist, wenn Lambda gleich Null ist? Dann wäre ja . Hieße das, dass keine Aussagen möglich ist? Oder muss ich hier Fälle unterscheiden bei denen ich sage, wenn und dann und f ist konvex? Wäre dann oder lokales Minimum?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ein lokales Minimum und ein lokales Maximum ist


Nicht x1 bzw. x2 SIND das Minimum bzw. Maximum, das sind die nur die Stellen auf der x-Achse, wo sich ein solches befindet.

Für werden deine beiden Extremstellen ja zu Null.
Wenn du in f mal einsetzt, dann bleibt ja eine recht umgängliche Funktion übrig, wo es einfach ist zu sagen, was denn nun in x=0 los ist. Augenzwinkern
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. smile
Wenn ich also in f einsetze erhalte ich . Für die erste Ableitung davon gleich 0 erhalte ich und das in die zweite Ableitung eingesetzt erhalte ich . Heißt dass, dass wenn Lambda gleich Null kein lokales Maximum oder Minimum vorliegt?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich also in f einsetze erhalte ich


Richtig, ich wollte aber eher darauf hinaus, dass man den Graphen zu g(x)=x³ ja kennen könnte (+7 ist ja nur eine Verschiebung nach oben, die nichts an der Art des möglichen Extrempunktes ändert).

Damit erübrigt sich auch das weitere Untersuchen mittels f ' und f ''.
Denn wenn du das tun würdest, dann hast du ja gesehen, dass du wieder bei f '(0)=0 und f ''(0)=0 landest.
Das bedeutet jedoch nicht zwangsweise, dass hier kein lokales Maximum oder Minimum vorliegt.
Klassisches Gegenbeispiel ist f(x)=x^4.
Viel mehr bedeutet es, dass dieses Kriterium hier versagt und man dann z.B. noch das (stets funktionierende) Vorzeichenwechselkriterium bzgl. f ' bemühen könnte.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das leuchtet ein. Bei würde man mittels der zweiten Ableitung kein Erfolg haben, aber mit dem Vorzeichenwechsel schon, oder?
Also betrachte ich jetzt noch , wieder mit Dann einsetzen:



Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, würde dann letztlich daraus folgen, dass kein lokales Maximum/Minimum vorliegt (oder zumindest beide Kriterien fehlgeschlagen sind).
Könnte man auch zeigen, dass an der Stelle ein Wendepunkt vorliegt (falls das der Fall ist) und dadurch ausschließen, dass sich dort ein lokales Maximum/Minimum befindet?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Es liegt in x=0 sogar ein ganz spezieller Wendepunkt vor, nämlich einer, wo die Steigung Null beträgt.
Solch ein Punkt hat einen besonderen Namen, weißt du was ich meine ?
 
 
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre doch ein Sattelpunkt. Bei dem ist ein notwendiges Kriterium zusätzlich zum Wendepunkt, dass ist, was gleichbedeutend dazu sein müsste, dass die Steigung gleich Null ist.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es - wenn also das Vorzeichen der Steigungswerte (links und rechts von der Extremstelle) nicht wechselt, dann ändert der Graph sein Steigungsverhalten nicht und es kommt zu einem Sattelpunkt.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Ahaaa, wenn Mathe nur immer so einleuchtend wäre. smile Vielen Dank für deine Hilfe.
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