Totale Differenzierbarkeit einer Funktion - wieder einmal. |
| 26.06.2016, 17:23 | Musican | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Totale Differenzierbarkeit einer Funktion - wieder einmal. Hallo an Alle! Ich weiß, solche Fragen hängen den Meisten wahrscheinlich schon aus den Ohren raus, aber ich muss nur kurz wissen, ob meine Schlussfolgerung so korrekt ist. ich habe eine Funktion Die Aufgabe lautet : a) Zeigen und begründen Sie, dass f differenzierbar ist. b) berechnen Sie den Gradienten der Funktion f. c) Berechnen Sie die Richtungsableitung in Richtung (-1, 1) der Funktion. Meine Ideen: Naja. Meine Idee war nun Folgende: Ich fange mit b) an. Denn wenn ich zeige, dass die partiellen Ableitungen existieren UND, dass diese auch noch stetig sind, dann folgt daraus doch die totale Diff'barkeit, oder? Anders wäre es gewesen, hätte die Funktion kritische Punkte, aber das hat sie in meinen Augen ja nicht. Also ist es hier gar nicht notwendig, mittels Differenzenquotienten zu argumentieren, richtig? Also wird duch b) und der Stetigkeit des Gradienten direkt a) beantwortet. Die Stetigkeit sieht man ja direkt den Komponenten des Gradienten an. zu c) Da ich die Richtungsableitung nicht in einem bestimmten Punkt angeben soll, und aus a und b) hervorging, dass f diff'bar ist fallen mir nun zwei Dinge auf : 1) Da die Funktion eine Abbildung von ist, kommt als Richtungsableitung ein Skalar, also die Steigung in die entsprechende Richtung raus. In unserem Fall nun ein Polynom, da der Punkt unbestimmt ist. 2. Statt mit der Definition der Richtungsableitung, kann ich direkt mit dem Skalarprodukt aus Gradienten und der Richtung arbeiten, da die Voraussetzungen dafür gegeben sind. Sind meine Folgerungen und Ideen soweit richtig? Das kommt mir alles nämlich etwas zu einfach vor, denn diese Aufgabe war eine Klausuraufgabe ... ^^ Danke schonmal vorab für eure Zeit! |
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| 26.06.2016, 17:31 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Totale Differenzierbarkeit einer Funktion - wieder einmal. Bei der Argumentation würde ich vom Begriff der "kritischen" Punkte absehen. Dies ist ein fester Begriff und besagt das verschwinden des Gradienten -- das meinst du nicht. Du meinst "gefährliche" Punkte (wenn es den Begriff gibt, dann ist er nicht so gebräuchlich). Ansonsten stimmt es. Bei c) 1) weiß ich nicht warum das ein Polynom sein sollte (ist es auch nicht.) Ansonsten stimme ich dir zu. Und Klausuraufgaben sind generell relativ leicht, da man unter Zeitdruck arbeitet und pro Aufgabe nicht so viel Zeit hat. Hier sparst du ja Zeit, indem du statt per Hand nachzurechnen, dass es eine Lineare Approximation an f gibt, einfach einen Satz anwendest. Einfaches Verständnis und Wissen ist meist das einzige was in Klausuren geprüft wird. |
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| 26.06.2016, 17:56 | Musican | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah, verstehe, danke! den Begriff "kritischer Punkt" haben wir zum einen bei Potenziellen Extremstellen und aber auch bei z.B einem Nullpunkt der Funktion : für (x,y) != 0 und 0 für (x,y) =0 verwendet. In so einem Fall wäre der Satz der Stetigkeit der partiellen Ableitungen noch nicht hinreichend oder? Ich müsste die "gefährliche Stelle" noch mittels Differenzenquotienten überprüfen und schauen, ob dort die partiellen Ableitungen existieren, richtig? Ah, ja du hast natürlich Recht. Die Richtungsableitung : ist natürlich kein Polynom, sondern ebenfalls ein Skalar, dessen genauer Wert sich aber erst durch den dementsprechenden Punkt ergibt, ja? Das hat mir aber schon sehr fürs Verständnis geholfen, danke! PS: Mit dem Verschwinden des Gradienten meinst du die Punkte an denen es keinen steilsten Anstieg gibt, und somit der Punkt ein Extremum oder ein Sattelpunkt sein muss, richtig? |
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| 26.06.2016, 18:20 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert immer Differenzierbarkeit. Was bei deinem Beispiel problematisch ist (neben nicht ueberall definiert zu sein) a) Die Existenz der partiellen Ableitungen ist a priori unklar, sowie b) ihre Stetigkeit. Wenn du das Beides hast, hast du Differenzierbarkeit. Problematisch ist wirklich nur, dass es nicht -- wie in deiner obigen Aufgabe -- nicht offensichtlich erfuellt ist. Ich wuerde mit dem Begriff kritische Stelle dennoch vorsichtiger umgehen, aber ist natuerlich dir ueberlassen. Der Rest sieht (modulo Vorzeichen) gut aus. Und mit kritischem Punkt meinte ich nur, dass der Gradient an der Stelle 0 ist. Der steilste Anstieg existiert, und ist von der Richtung sogar unabhaengig 0. Ich bin mir gerade nicht sicher wie Sattelpunkt im Mehrdimensionalen definiert ist, aber vermutlich stimmt deine Folgerung. Edit: Vorzeichen doch alle in Ordnung, sry. |
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