Untersuchung auf Stetigkeit

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Mimi123 Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung auf Stetigkeit
Meine Frage:
Hallo, ich hab hier eine Aufgabe in der ich nicht genau weiß wie ich da ran gehe.

Meine Ideen:
Ich hab mir gedacht einfach die einzelnen Grenzwerte auszurechnen und wenn die beiden nicht gleich sind, ist die Funktion nicht stetig.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt drauf an, welche Grenzwerte du ausrechnen willst, aber allgemein ist richtig: Eine Funktion ist stetig in , falls .

Dann mach mal. Augenzwinkern
(Bei der ersten Aufgabe hilft z.B. Polynomdivision.)
Mimi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Aufgabe 1, würde ich die obere Gleichung umformen in . Würde ich jetzt für einsetzen dann würde bei der oberen Gleichung und bei der unten 3 und das würde heißen das die gesamte Funktion nicht stetig ist.
Stimmt das? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mimi123
Bei der Aufgabe 1, würde ich die obere Gleichung umformen in .

Offensichtlich ist , was aber am Ergebnis nicht viel ändert. smile
Mimi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Upps meinte natürlich +1/2. Also wäre die Vorgehensweise richtig? smile

Beim der zweiten Aufgabe hätte ich
Oben:
Unten: hab ich so gelassen.

Wenn ich nun x0=0 einsetze kommt bei der ersten 0 raus und bei der zweiten -6. also auch unstetig.
verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mimi123
Upps meinte natürlich +1/2. Also wäre die Vorgehensweise richtig? smile

Ja, wenn man es formal korrekt schreibt:

Zitat:
Original von Mimi123
Wenn ich nun x0=0 einsetze kommt bei der ersten 0 raus und bei der zweiten -6. also auch unstetig.
verwirrt

Ja, wobei man streiten kann, ob 0 zu den natürlichen Zahlen gerechnet wird. Augenzwinkern
Außerdem mußt du bei dem oberen Term den Grenzwert bilden. Einfach nur Einsetzen ist formal nicht möglich.
 
 
Mimi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich den Grenzwert von der oberen Gleichung direkt berechne kommt da 1 raus. Muss ich dann aber nichts mehr einsetzen? verwirrt
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mimi123
[...] das würde heißen das die gesamte Funktion nicht stetig ist.
Stimmt das? verwirrt

Da muss ich kurz einhaken. Die Funktion ist nicht auf dem gesamten Definitionsbereich stetig, so ist es richtig formuliert. Das ist aber nicht die Fragestellung. Wenn man eine Funktion auf Stetigkeit prüfen soll, heißt das für jeden Punkt im Definitionsbereich anzugeben, ob die Funktion dort stetig oder unstetig ist. Mit Beweis natürlich.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mimi123
Wenn ich den Grenzwert von der oberen Gleichung direkt berechne kommt da 1 raus. Muss ich dann aber nichts mehr einsetzen? verwirrt

Ähh, welche Funktion bzw. welchen Grenzwert meinst du?
Mimi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Von dieser Funktion .
Wenn ich direkt den Grenzwert berechnen würde ohne umzuformen, würde da die eins raus kommen oder sollte ich den umgeformten Term den Grenzwert berechnen? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist erst mal: Grenzwert für x gegen was?
Mimi123 Auf diesen Beitrag antworten »

X0 gegen 0.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, es ist . Siehe auch:

Zitat:
Original von Mimi123
Beim der zweiten Aufgabe hätte ich
Oben:
Unten: hab ich so gelassen.

Wenn ich nun x0=0 einsetze kommt bei der ersten 0 raus und bei der zweiten -6. also auch unstetig.


Ich hatte aber auch schon erwähnt, daß die Wahl von x_0 = 0 ggf. etwas problematisch ist, da erst mal zu klären wäre, ob ihr die Null zu den natürlichen Zahlen zählt.

Beachte auch den Hinweis von magic_hero: die Frage nach der Stetigkeit ist auf ganz R zu untersuchen.
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