Kann ein Lagrange-Multiplikator 0 sein?

26.06.2016, 19:09

Musican

Kann ein Lagrange-Multiplikator 0 sein?

Meine Frage:
Hallo!
Es geht dabei um folgende Funktion :

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = e^{x² - y²} \end{eqnarray*}$

unter der NB : $\begin{eqnarray*} E = \left\{ (x,y) \in \mathbb R² : x² + 2y² \leq 5 \right\} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun, was sich über die gefundenen Punkte auf dem Rand sagen lässt.

Meine Ideen:
Ich habe (weil ich nicht weiß, ob die Frage dies impliziert) die Funktion erstmal auf lokale Extrema untersucht und nur einen Sattelpunkt bei (0,0) gefunden.

Als Lagrange Funktion L ergibt sich $\begin{eqnarray*} e^{x²-y²} + \lambda (x²+2y² -5) \end{eqnarray*}$

Als Gradient von L ergibt sich bei mir :

$\begin{eqnarray*} GradL(x,y) = \begin{pmatrix} 2x e^{x²-y²} + 2x \lambda \\ -2y e^{x²-y²} + 4y \lambda \\ x² + 2y² -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun will ich die krit. Punkte auf dem Rand finden und setze den Gradienten gleich 0. Da die e-Funktion keine Nullstellen hat, betrachte ich also nurnoch :

$\begin{eqnarray*} I. 2 \lambda x = 0<br /> II.4 \lambda y = 0<br /> III. x² + 2y² -5 = 0 \end{eqnarray*}$

Betrachtet man nur die Nebenbedingung ergeben sich, wenn ich mich nicht irre folgende mögl. Punkte :

$\begin{eqnarray*} (1,2) , (-1, 2) , (-1,-2) , (1,-2) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig sehe, gibt es nur 2 Möglichkeiten :
Entweder Lambda ist ungleich 0, dann wäre keiner dieser Punkte für x,y eine Lösung.
Oder aber Lambda wäre 0, dann wären sogar alle Punkte kritische Punkte, die ich überprüfen muss.
Also frage ich mich ---> Kann Lambda überhaupt 0 sein?
Daraus ergibt sich doch das Problem, dass jeder mögl. Punkt den selben Multiplikator hat. Ist das überhaupt möglich?
Da ich leider nicht die genaue Funktion eines Multiplikators für einen Punkt kenne, fällt es mir schwer da logisch zu schlussfolgern.

Vielleicht gibt's hier ja einen Schlaukopf der mir die Frage beantworten kann smile

Besten Dank schonmal!

26.06.2016, 22:41

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RE: Kann ein Lagrange Multiplikator 0 sein?

Zitat:

Da die e-Funktion keine Nullstellen hat, betrachte ich also nurnoch

Das ist nicht ausreichend, weil im Gradienten die Exponentialfunktion als Summand auftritt, nicht als Faktor.

26.06.2016, 23:46

Musican

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Oh nein, wie dumm von mir.. danke..
Hammer

27.06.2016, 11:41

Musican

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Also wir haben dann nun folgendes Gleichungssystem und bekommen es nicht gelöst. Sieht zufällig jemand einen gescheiten Trick, wie man nun auf x und y kommt?

$\begin{eqnarray*} 2x e^{x²-y²} + 2 \lambda x =0<br /> -2ye^{x²-y²} + 4 \lambda y =0<br /> x² + 2y² -5 =0 \end{eqnarray*}$

Also x UND y können ja schonmal nicht 0 sein. Wenn wir jetzt die erste nach Lambda auflösen bekommen wir $\begin{eqnarray*} \lambda = -e^{x²-y²} \end{eqnarray*}$ . Setzen wir das in die zweite Gleichung ein bekommen wir $\begin{eqnarray*} -6e^{x²-y²} =0 \end{eqnarray*}$ raus. Machen wir was falsch? Ich kann ja schlecht den Logarithmus von 0 ziehen...

27.06.2016, 12:55

magic_hero

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Zitat:

Original von Musican
Machen wir was falsch?

Auf magische Weise verschwindet das y, das hier aber noch stehen sollte. Dann kann man auch weiterrechnen.

Übrigens finde ich die Aufgabe ein schönes Beispiel dafür, dass man nicht immer gleich mit den größten Kanonen losschießen sollte. Die Funktion f an sich kann man sich schon ganz gut vorstellen, wenn man die e-Funktion gut genug kennt, und wenn man hier zusätzlich noch die NB für den Rand einsetzt, kann man hier komplett ohne Lagrange vorgehen (um sich die Situation auf dem Rand anzuschauen).

27.06.2016, 14:39

Musican

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Ach das stimmt natürlich..Daraus folgt dann ja zwangsläufig, dass y =0 sein muss, eingesetzt ergibt das $\begin{eqnarray*} y =0 , x = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ Das dürfte dann ja sogar die einzige Lösung sein, richtig? Also ich weiß nicht ob man Lambda noch rausfinden muss, das wäre nämlich $\begin{eqnarray*} -e^{5} \end{eqnarray*}$ .. Was machen wir denn nun mit den Werten? Per Hessematrix argumentieren?

Wenns dir keine Umstände macht würde uns mal interessieren, wie du ohne die Lagrange-Funktion argumentiert hättest welche und vor allem was für Extrema auf dem Rand liegen würden? Denn wie du schon sagst.. mit Kanonen auf Spatzen...

Auf jedenfal danke schonmal!

27.06.2016, 14:57

magic_hero

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Zitat:

Original von Musican
Ach das stimmt natürlich..Daraus folgt dann ja zwangsläufig, dass y =0 sein muss, eingesetzt ergibt das $\begin{eqnarray*} y =0 , x = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ Das dürfte dann ja sogar die einzige Lösung sein, richtig?

Nein, denn 1.) muss man beim Wurzelziehen bekannterweise immer aufpassen und
2.) kann man das Ganze noch umgekehrt machen (also die zweite Gl. nach lambda auflösen) und erhält so noch zwei weitere Lösungen.

Übrigens ist es hier von Haus aus ganz logisch, dass man je zwei Lösungen erhält aufgrund der Symmetrie der Funktion und des Randes.

Zitat:

Original von Musican
Also ich weiß nicht ob man Lambda noch rausfinden muss, das wäre nämlich $\begin{eqnarray*} -e^{5} \end{eqnarray*}$ .. Was machen wir denn nun mit den Werten? Per Hessematrix argumentieren?

lambda spielt keine Rolle, ist ja nur eine eingeführte Hilfsgröße. Einfach mal die erhaltenen Lösungen in die Funktion einsetzen und argumentieren. Es gibt da ja so einen Satz, der besagt, dass eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge sowohl Maximum als auch Minimum annimmt. Schaut mal die erhaltenen Funktionswerte an und beachtet, dass ihr zuvor gezeigt habt (so habe ich es jedenfalls herausgelesen), dass ihr lokale Extremstellen schon betsimmt habt.

Zitat:

Original von Musican
Wenns dir keine Umstände macht würde uns mal interessieren, wie du ohne die Lagrange-Funktion argumentiert hättest welche und vor allem was für Extrema auf dem Rand liegen würden? Denn wie du schon sagst.. mit Kanonen auf Spatzen...

Angenommen, wir haben schon alle lokalen Extremstellen gefunden. Dann gucken wir uns die Funktion auf dem Rand an, setzen also die NB in f ein und erhalten:
$\begin{eqnarray*} g(y)=e^{5-3y^2} \end{eqnarray*}$ (insbesondere ist diese Funktion unabhängig von x!)
Ich habe dabei die NB nach $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ aufgelöst, da dabei keine Brüche entstehen (andersrum ginge es genauso). Jetzt weiß man zusätzlich, dass $\begin{eqnarray*} 0 \leq y^2 \leq \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ gelten muss, und nutzt die Monotonie der e-Funktion aus, um letztlich auf dasselbe Ergebnis zu kommen und Maximal- und Minimalstellen zu erhalten (um die Stelle zu erhalten, muss man die erhaltenen y-Werte natürlich wieder in die NB einsetzen). Ich führe das mal bewusst nicht weiter aus, damit ihr das selbst probieren könnt.

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