Winkelrelationen

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27.06.2016, 12:34	Lens	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelrelationen Meine Frage: Hallöchen, ich muss im Rahmen eines Vortrags in einem Geometrieseminar folgende Winkelrelation zeigen: sin² alpha = sin²beta + sin²gamma-2sin beta sin gamma cos alpha Über einen Tipp freue ich mich sehr Meine Ideen: Ansätze habe ich leider noch keine
27.06.2016, 13:49	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist irgendeine Umformulierung des Kosinussatzes. Das springt doch ins Auge.
27.06.2016, 18:45	Lens	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für mich ist das nicht ins Auge gesprungen ... Kannst du mir einen Ansatz geben? Liebe Grüße
27.06.2016, 18:49	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du dir den Kosinussatz denn schon mal angesehen?
28.06.2016, 00:06	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
zunächst ist diese Behauptung vollkommen sinnleer. wenn du allerdings dazu sagst, dass sie in einem 3eck gelten soll: nimm den Sinussatz zum Cosinussatz und schon bist du fertig! das scheint ja ein Anfängerseminar zu sein
28.06.2016, 13:05	Lens	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar, die Behauptung soll in einem Dreieck gelten. Das habe ich vergessen zu erwähnen, dass ich die Winkelrelationen in einem Dreieck (abc) betrachte. Tut mir leid, aber ich sehe das leider nicht und weiß auch nicht wo der Kosinus-Satz drin stecken soll. Grüße, Lens
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28.06.2016, 13:12	Lens	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist das einfach nicht ersichtlich, denn wenn ich den Kosinus-Satz nutze, dann habe ich die Seiten A B C in meiner Formel enthalten und komme weit weg von dem Sinus. Entweder ich denke zu kompliziert und es ist wirklich total billig oder wir reden aneinder vorbei . Denn ich weiß wirklich nicht, an welcher Stelle ich den Satz nutzen soll.
28.06.2016, 13:16	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist total billig. Ersetze jede Dreiecksseite durch den entsprechenden Sinusterm, also $\begin{eqnarray} a = csin(\alpha ) \end{eqnarray}$ usw.
28.06.2016, 13:22	Lens	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich dann gerade mal versucht, aber das führt bei mir leider ins nichts.
28.06.2016, 13:34	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib mal auf, was du gemacht hast.
28.06.2016, 13:39	Lens	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sin²( \alpha ) = 1-cos² \alpha = 1- \frac{B²+C²-A²}{2BC} = 1- (\frac{A²\cdot sin² \alpha + B² \cdot sin² \alpha - C² \cdot sin² \alpha}{2AB \cdot sin²\alpha})² \end{eqnarray}$ Dann lässt sich Sinus wieder kürzen und so weiter ... VIelleicht habe ich auch wieder was falsch gemacht und etwas übersehen ...
28.06.2016, 13:49	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, für $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ setzt du $\begin{eqnarray} (c sin(\alpha ))^2 \end{eqnarray*}$ ein usw ...
28.06.2016, 19:21	Lens	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber das habe ich doch gemacht
28.06.2016, 19:37	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was hast du für b eingesetzt?
28.06.2016, 20:56	Lens	Auf diesen Beitrag antworten »
a * sin (alpha) -> Ich dachte das aufgrund der zyklischen Vertauschung ...
28.06.2016, 21:57	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, weh, dann wäre ja $\begin{eqnarray} sin(\alpha) = \frac{b}{a} \end{eqnarray}$ Nein, sondern: $\begin{eqnarray} b= c sin(\beta) \end{eqnarray}$
28.06.2016, 22:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was rechnet ihr eigentlich? Richtig wäre nach dem Sinussatz doch $\begin{align} b = a \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \, , \ \ c = a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} \end{align}$ Am besten fängt man mit dem Cosinussatz an, und zwar in der Form $\begin{align} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \end{align}$ Jetzt ersetzt man rechts $\begin{align} b \end{align}$ und $\begin{align} c \end{align}$ durch die obigen Ausdrücke. Alle Summanden enthalten dann $\begin{align} a^2 \end{align}$ . Man kürzt daher die Gleichung durch $\begin{align} a^2 \end{align}$ . Dann muß man nur noch mit $\begin{align} \sin^2 \alpha \end{align}$ durchmultiplizieren. Die Gleichung gilt übrigens immer, wenn $\begin{align} \alpha + \beta + \gamma = \pi \end{align}$ ist, nicht nur für Winkel $\begin{align} \in [0,\pi] \end{align}$ . Man kann zum Beispiel einen Beweis führen, der nur die Additionstheoreme verwendet.
29.06.2016, 06:35	Lens	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt danke! Ich werde es damit nochmal versuchen

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