"Integralgleichung" rechnerisch lösen?

27.06.2016, 14:09	Fenrix	Auf diesen Beitrag antworten »
"Integralgleichung" rechnerisch lösen? Hey, ich gucke mir gerade folgende Übungsaufgabe an: Welche Funktion f löst die Integralgleichung $\begin{eqnarray} \int_{0}^{x} \! f(t) \, dt = f(x)-2 \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Es muss ja dann gelten: $\begin{eqnarray} F(x)-F(0)=f(x)-2 \end{eqnarray}$ Gibts irgendeine Möglichkeit das ganze rechnerisch zu lösen? Aus der Vorlesung ist mir nichts bekannt, da die Aufgabe allerdings nur einen Punkt gibt, muss das schon relativ trivial sein Grüße
27.06.2016, 14:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} f(x)=e^x+1 \end{align}$ ist falsch. Mit $\begin{align} y=F(x)-F(0) \end{align}$ ergibt dich das AWP $\begin{align} y = y'-2 \end{align}$ mit $\begin{align} y(0)=0 \end{align}$ . Dessen Lösung ist $\begin{align} y=2e^x-2 \end{align}$ , und damit dann $\begin{align} f(x)=y'=2e^x \end{align}$ .
27.06.2016, 14:19	Fenrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, war mir gerade auch aufgefallen. Wollte es noch editieren, aber leider zu spät. Danke für die Lösung, da wäre ich so schnell nicht drauf gekommen.
27.06.2016, 14:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch gleich $\begin{align} z=F(x)-F(0)+2 \end{align}$ wählen (wenn man es sieht), dann wird das AWP noch einfacher: $\begin{align} z=z' \end{align}$ mit $\begin{align} z(0)=2 \end{align}$ .
27.06.2016, 14:35	Fenrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich muss sagen ich verstehe grundsätzlich den Gedanken dahinter, und kann die DGL auch an sich lösen. Allerdings fehlt mir noch ein bisschen das Verständnis wie man von y=F(x)-F(0) auf das AWP y=y'-2 mit y(0)=0 schließen kann. Grundsätzlich macht es irgendwie intuitiv Sinn, aber gibts die auch eine Vorgehensweise wie man sowas aufstellt? Speziell das AWP, also in diesem Fall y(0)=0 bereitet mir da Probleme.
27.06.2016, 14:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{align} F(x) \end{align}$ die Stammfunktion von $\begin{align} f \end{align}$ ist, dann ist $\begin{align} F'=f \end{align}$ . Ich wüsste nicht, welch längerer Erklärung es für diesen Fakt noch bedarf: So ist der Begriff "Stammfunktion" schließlich definiert.
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27.06.2016, 14:53	Fenrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist kein Problem Auf die Gleichung y=y'-2 bin auch noch gekommen. Allerdings konnte ich die Brücke nicht wirklich schlagen zwischen den Integrationsgrenzen x und 0 und dem AWP y(0)=0. Wie würde sich das ganze auswirken, wenn die untere Grenze -5 wäre? Das AWP wäre dann y(-5)=0 ?

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