Komplexe Zahlen

27.06.2016, 18:03

verzweifelt123

Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Halli Matheboard User,

ich hab mich ein wenig in Komplexe Zahlen eingelesen und komme bei Folgender Aufgabe nicht weiter :

z^4 +81i = 0

Wie gehe ich da vor ...

Meine Ideen:
Mein Lösungsvorgang wäre die Polarform

Der Imaginäreanteil (y) wäre doch : -81i
Nur der Realeanteil (x) ich nicht vorhanden ?

Komme nicht weiter ich weis das ich phi berechnen muss was ich über
atan(y/x) bekomme nur Leider ist der Realeanteil 0

27.06.2016, 18:26

Mathema

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$\begin{eqnarray*} z^4=0-81i \end{eqnarray*}$

Da hast du deinen Realteil. Weiter geht`s so.

27.06.2016, 23:26

twin92

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habe deinen rat befolgt und bin bei : $\begin{eqnarray*} 0-81i = 81*e^{i*(\pi /2)} \end{eqnarray*}$

28.06.2016, 01:08

twin92

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Lösung 1
Hab mich jetzt etwas mehr eingearbeitet in das Thema und bin auf Folgendes gekommen :

$\begin{eqnarray*} z^{4} = 0 - 81i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{(-81)^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} phi = -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ -> x = 0 (realer Teil) , y > 0 (imaginärer Teil)
$\begin{eqnarray*} z^{4} = 81 * e^{i(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)} \end{eqnarray*}$ | 4-te Wurzel Ziehen

$\begin{eqnarray*} Z_{K} = 3 * e^{i(- \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} )} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z_{0} = 3 * e^{i(- \frac{\pi}{8})} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z_{1} = 3 * e^{i(\frac{3}{8}\pi )} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z_{2} = 3 * e^{i(\frac{7}{8}\pi )} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z_{3} = 3 * e^{i(\frac{11}{8}\pi )} \end{eqnarray*}$

Dann noch in die kartesische Form umrechen -> $\begin{eqnarray*} r * (cos(phi) + sin(phi)*i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_{0} = 3 * (cos(- \frac{\pi}{8}) + sin(- \frac{\pi}{8})*i) = 1.148 -2.772i \end{eqnarray*}$

usw. für $\begin{eqnarray*} Z_{1} bis Z_{3} \end{eqnarray*}$

[/latex]

Kann mir da jemand Feedback zu geben ?
Wo fehler liegen ?

28.06.2016, 17:53

Mathema

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Ja - sieht gut aus.

Nur hier passt das Ergebnis irgendwie nicht zur Rechnung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Z_{0} = 3 * (cos(- \frac{\pi}{8}) + sin(- \frac{\pi}{8})*i) = 1.148 -2.772i \end{eqnarray*}$

28.06.2016, 18:37

twin92

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ich hatte vor in die kartesische Form umzurechnen ?
wo liegt der fehler ?

28.06.2016, 18:40

Mathema

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Laut meinem TR ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} Z_{0} = 3 * (cos(- \frac{\pi}{8}) + sin(- \frac{\pi}{8})*i) = 2.772 -1.148i \end{eqnarray*}$

28.06.2016, 19:13

twin92

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hopla stimmt habs vertauscht hast natürlich recht
danke für deine hilfe

28.06.2016, 19:32

Mathema

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Gerne - eine Sache noch (aus deinem Startbeitrag):

Bei der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z=-81i \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \Re(z)=0 \end{eqnarray*}$ - das hatten wir geklärt.

Zitat:

Der Imaginäreanteil (y) wäre doch : -81i

Der Imaginärteil steht vor dem i - also $\begin{eqnarray*} \Im(z)=-81 \end{eqnarray*}$

Nur noch als kleine Info. Dir einen schönen Abend.

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