Inverse Matrix Isometrie

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27.06.2016, 21:35	h3lp	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Matrix Isometrie Meine Frage: Hallo, ich bin gerade am lernen für die Klausur und beim Rechnen von Altklausuren auf eine Rechnung gestoßen, die mir nicht ganz klar ist. Fragestellung: In reeler Matrix A soll man a,b,c durch konkrete Werte ersetzen, sodass A zu einer Isometrie gehört A= $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & a & -4 \\ 4 & b & 4 \\ 4 & c & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann schaut man sich die ersten zwei Spalten an. Für diese muss gelten $\begin{eqnarray} < \begin{pmatrix} 2 \\ 4\\ 4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} > =0 \end{eqnarray}$ Also 2a+4b+4c = 0 so, dafür kann a = -4, b = - 2, c = 4 sein oder a = 4, b = 2 und c = -4 Mir ist nur nicht ganz klar warum das jetzt die einzige Lösung ist, da doch eigentlich genauso a=-8, b= -4, c= 8 gehen würde? Danke für die Hilfe! Meine Ideen: Rechnung bis zur Lösung sind mir klar, nur stellt sich mir eben diese eine Frage. Danke für die Hilfe!
27.06.2016, 21:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie Aus dieser einen Gleichung kannst du die drei Koeffizienten a,b,c auch nicht bestimmen. Geometrisch bekommst du daraus die Ebene, die auf (2,4,4,) senkrecht steht. Du brauchst noch weitere Bedingungen.
27.06.2016, 22:21	h3lp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie Danke für den Hinweis! Habe verstanden... Da hatte ich vollkommen überlesen. Es gilt natürlich \|\|v(i)\|\|=1 was also für die Zeilenvektoren \|a\|=4, \|b\|=2 und \|c\|=4 ergibt
27.06.2016, 22:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie Die Norm ist die zweite Bedingung. Aber das reicht noch nicht, um drei Koeffizienten zu bestimmen. Du hast die Lösungen jetzt auf den Einheitskreis in der Ebene senkrecht zu (2,4,4) eingeschränkt.
27.06.2016, 22:48	h3lp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie Leider weiss ich gerade nicht genau, worauf du hinauswillst. Also da die ersten beiden Spalten orthogonal zueinander sein müssen, also das Skalarprodukt=0 ergibt kommen eben diese zwei Lösungen zustande
27.06.2016, 23:12	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie Was ist denn mit den anderen Lösungen? $\begin{eqnarray} \frac{6}{\sqrt{5}}(-2,1,0) \end{eqnarray}$ zum Beispiel?
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27.06.2016, 23:22	h3lp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie willst du darauf hinaus, dass eine Isometrie die Norm von Vektoren nicht verändert, die Abbildung also abstandserhaltend ist?
27.06.2016, 23:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie Nein. Warum ist $\begin{eqnarray} \frac{6}{\sqrt{5}}(-2,1,0) \end{eqnarray}$ keine Lösung der Aufgabe?
27.06.2016, 23:39	h3lp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie tut mir leid, ich kapiers nicht...
27.06.2016, 23:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie Worauf ich hinaus will: Du verlangst, dass die zweite Spalte senkrecht zur ersten ist, ignorierst aber komplett, dass sie auch zur dritten senkrecht sein muss. Das eröffnet übrigens auch einen anderen Lösungsweg, Stichwort Kreuzprodukt
27.06.2016, 23:49	h3lp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie achso... ja, das habe ich hier schon noch geprüft, dass die dritte Spalte mit den beiden Werten verträglich ist, hätte ich noch schreiben sollen. Vielen Dank!
27.06.2016, 23:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Matrix Isometrie Ja, in der Tat, das hättest du

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