Eigenvektor bestimmen

28.06.2016, 09:12

Alina H.

Eigenvektor bestimmen

Meine Frage:
Hallo smile

Ich musss um eine Aufgabe zu lösen die Eigenvektoren der folgenden Matrix lösen:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hierbei bekomme ich das Char. Poly.: -t^3+1 raus und damit meinen ersten Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda1 = 1 \end{eqnarray*}$

Zudem bekomme ich noch zwei weitere komplexe Eigenwerte:

$\begin{eqnarray*} \lambda2 = -\frac{1}{2} -\sqrt{\frac{3}{4}}*i \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lambda3 = -\frac{1}{2} +\sqrt{\frac{3}{4}}*i \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Für $\begin{eqnarray*} \lambda1 = 1 \end{eqnarray*}$ bekomme ich den EV = [1;1;1]

Allerdings habe ich Probleme bei den komplexen EW:

Für $\begin{eqnarray*} \lambda2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich folgende Matrix mit (A-lamba*E)*v=0:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}*i-1}{2} & 0 & 1 \\ 1 & \frac{\sqrt{3}*i-1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{\sqrt{3}*i-1}{2} \end{pmatrix} * v = 0 \end{eqnarray*}$

Nun mein(e) Frage / Problem:

Ich weiß einfach nicht wie ich das LGS sinnvoll lösen kann. Mir fehlt einfach ein Ansatz. Würde mich also über einen Tipp freuen wie man hier weiter vorgeht. Sitze nämlich schon eine Weile daran :/

28.06.2016, 09:48

klarsoweit

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RE: Eigenvektor bestimmen

Zitat:

Original von Alina H.
Für $\begin{eqnarray*} \lambda2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich folgende Matrix mit (A-lamba*E)*v=0:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}*i-1}{2} & 0 & 1 \\ 1 & \frac{\sqrt{3}*i-1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{\sqrt{3}*i-1}{2} \end{pmatrix} * v = 0 \end{eqnarray*}$

Ähh, müßte das nicht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{3}*i}{2} & 0 & 1 \\ 1 & \frac{1+\sqrt{3}*i}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1+\sqrt{3}*i}{2} \end{pmatrix} \cdot v = 0 \end{eqnarray*}$ lauten? verwirrt

Zitat:

Original von Alina H.
Nun mein(e) Frage / Problem:

Ich weiß einfach nicht wie ich das LGS sinnvoll lösen kann.

Wie sonst auch: Gauß-Verfahren anwenden. Augenzwinkern

28.06.2016, 11:23

Alina H.

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RE: Eigenvektor bestimmen
Stimmt, es muss natürlich plus sein. Freude

Kannst du mir hierbei bei den ersten Umformungen helfen? Genau dabei habe ich scheinbar Probleme.

Ich komme nämlich immer auf den Lösungsvektor v2=[0;0;0]

Vielleicht ist das sogar richtig?

Dann komme ich aber leider mit meiner Aufgabe gar nicht mehr weiter..

28.06.2016, 11:38

klarsoweit

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RE: Eigenvektor bestimmen

Zitat:

Original von Alina H.
Ich komme nämlich immer auf den Lösungsvektor v2=[0;0;0]

Vielleicht ist das sogar richtig?

Nein, es muß einen vom Nullvektor verschiedenen Eigenvektor geben.

Zitat:

Original von Alina H.
Kannst du mir hierbei bei den ersten Umformungen helfen? Genau dabei habe ich scheinbar Probleme.

Wie ich schon sagte: Gauß-Verfahren anwenden. Wo ist da das Problem? verwirrt

Als erstes vertauschen wir 1. und 2. Zeile:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1+\sqrt{3}*i}{2} & 0 \\ \frac{1+\sqrt{3}*i}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1+\sqrt{3}*i}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen wir die 1. Komponente in der 2. Zeile wegbekommen. Dazu addiere das $\begin{eqnarray*} \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \end{eqnarray*}$ -fache der 1. Zeile zur 2. Zeile. Augenzwinkern

28.06.2016, 12:19

Alina H.

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RE: Eigenvektor bestimmen
Meinte auch eigentlich v2=[1;1;1]

Also durch ein paar Umformungen:

$\begin{eqnarray*} 1) I <-> II \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) II + \frac{-1-\sqrt{3}*i }{2}*I \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3) II <-> III \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4) III + \frac{+2+\sqrt{3}*i }{2}*II \end{eqnarray*}$

komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1+\sqrt{3}i }{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1+\sqrt{3}i }{2} \\ 0 & 0 & \frac{9}{4}+\frac{3\sqrt{3} }{4}*i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich ja soweit eliminieren, dass ich x1 = x2 = x3 hab und somit den EV=[1;1;1]

Jetzt muss ich in der weiteren Aufgabe eine Matrix S aus diesen Basisvektoren bilden und schließlich diese zu S^-1 invertieren. Aber genau hierbei habe ich dann das Problem, dass sich diese Matrix nicht invertieren lässt verwirrt

28.06.2016, 12:48

klarsoweit

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RE: Eigenvektor bestimmen

Zitat:

Original von Alina H.
Meinte auch eigentlich v2=[1;1;1]

Das ist doch der Eigenvektor zum Eigenwert 1. Ein Vektor kann aber nicht Eigenvektor zu unterschiedlichen Eigenwerten sein.

Zitat:

Original von Alina H.
$\begin{eqnarray*} 2) II + \frac{-1-\sqrt{3}*i }{2}*I \end{eqnarray*}$

Bei mir kommt an dieser Stelle dieses raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1+\sqrt{3}*i}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1-\sqrt{3}*i}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1+\sqrt{3}*i}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hast du das auch?

28.06.2016, 13:26

Alina H.

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RE: Eigenvektor bestimmen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Alina H.
$\begin{eqnarray*} 2) II + \frac{-1-\sqrt{3}*i }{2}*I \end{eqnarray*}$

Hm tatsächlich bekomme ich für a22 schon was anderes geschockt

:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1+\sqrt{3}*i}{2} & 0 \\ 0 & \frac{-2-\sqrt{3}*i}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1+\sqrt{3}*i}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber die Rechnung ist ja $\begin{eqnarray*} 0- \frac{-1-\sqrt{3}*i }{2} *\frac{+1+\sqrt{3}*i }{2} = \frac{-2-\sqrt{3}*i}{2} \end{eqnarray*}$

Argh ich seh den Fehler nicht verwirrt

28.06.2016, 13:36

klarsoweit

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RE: Eigenvektor bestimmen

Zitat:

Original von Alina H.
Aber die Rechnung ist ja $\begin{eqnarray*} 0- \frac{-1-\sqrt{3}*i }{2} *\frac{+1+\sqrt{3}*i }{2} = \frac{-2-\sqrt{3}*i}{2} \end{eqnarray*}$

Zum einen stimmt diese Rechnung nicht, zum anderen muß es $\begin{eqnarray*} 0 + \frac{-1-\sqrt{3}*i }{2} *\frac{+1+\sqrt{3}*i }{2} \end{eqnarray*}$ lauten.

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