Additionstheoreme

28.06.2016, 13:22

hYhzRr

Additionstheoreme

Meine Frage:
Moin,
hab da ein kleines Problem, bzw schaff es nicht auf die richtige Lösung zu kommen.
Das Problem ist wiefolgt:
Ich habe 3 Schwingungen

$\begin{eqnarray*} 1. \cos(wt) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.\frac{1}{2} \sin(2wt) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.\frac{1}{4} \sin(4wt) \end{eqnarray*}$ .

Aus diesen 3 Schwingungen soll ich nun die Superposition mithilfe der Additionstheoreme $\begin{eqnarray*} \sin(2x)=2 \sin(x) \cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(2x)= \cos(x)^{2} - \sin(x)^{2} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} \cos(x) + \frac{1}{2} \sin(2x) + \frac{1}{4} \sin(4x) = \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \frac{1}{2} \sin(2x) \cdot \cos(2x) =\cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) \left(\sin(x)^{2} - \cos(x)^{2} \right) =\cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^{3} - \sin(x)^{3} \cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das Zusammenfasse komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \cos(x)\left(1 + \sin(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^{3} - \sin(x)^{3}\right) \end{eqnarray*}$

Das richtige Ergebnis ist jedoch :

$\begin{eqnarray*} \cos(x)\left(1 + 2 \sin(x) \cdot \cos(x)^{2}\right) \end{eqnarray*}$

Habe ich iregndwas falsch berechnet bzw. falsch zusammengefasst ? Komme einfach nicht drauf wie ich auf das Endergebnis komme.

Hoffe jemand sieht den Fehler ^^

Grüße,
hYhzRr

28.06.2016, 13:40

hYhzRr

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Habe auch mal sowohl meine Lösung als auch die "richtige Lösung" in meinem Excel Sheet eingegeben und die Werte Stimmen alle überein.

Und in meiner Zusammenfassung muss cos(x)^2 stehen :P

Gruß,
hYhzRr

28.06.2016, 13:42

willyengland

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$\begin{eqnarray*} =\cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^{3} - \sin(x)^{3} \cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$

muss

$\begin{eqnarray*} =\cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot \cos(x)^{3} + \sin(x)^{3} \cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$

sein.

28.06.2016, 13:42

klarsoweit

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RE: Additionstheoreme

Zitat:

Original von hYhzRr
$\begin{eqnarray*} \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \frac{1}{2} \sin(2x) \cdot \cos(2x) =\cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) \left(\sin(x)^{2} - \cos(x)^{2} \right) \end{eqnarray*}$

Hier hast du cos(2x) falsch eingesetzt.

28.06.2016, 13:49

hYhzRr

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RE: Additionstheoreme

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Hier hast du cos(2x) falsch eingesetzt.

Inwiefern ? Hbae ja quasi die Theoreme nur übertragen.

28.06.2016, 13:50

klarsoweit

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RE: Additionstheoreme

Zitat:

Original von hYhzRr
$\begin{eqnarray*} =\cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^{3} - \sin(x)^{3} \cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$

Diese Zeile stimmt dann wieder.

Zitat:

Original von hYhzRr
Wenn ich das Zusammenfasse komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \cos(x)\left(1 + \sin(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^{3} - \sin(x)^{3}\right) \end{eqnarray*}$

Hier muß es erst mal $\begin{eqnarray*} \cos(x) \cdot \left(1 + \sin(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^2 - \sin(x)^3\right) \end{eqnarray*}$ lauten. smile

Zitat:

Original von hYhzRr

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Hier hast du cos(2x) falsch eingesetzt.

Inwiefern ? Hbae ja quasi die Theoreme nur übertragen.

Aber was ist cos(2x) ?

28.06.2016, 13:56

hYhzRr

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RE: Additionstheoreme

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von hYhzRr
$\begin{eqnarray*} =\cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^{3} - \sin(x)^{3} \cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$

Diese Zeile stimmt dann wieder.

Zitat:

Original von hYhzRr
Wenn ich das Zusammenfasse komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \cos(x)\left(1 + \sin(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^{3} - \sin(x)^{3}\right) \end{eqnarray*}$

Hier muß es erst mal $\begin{eqnarray*} \cos(x) \cdot \left(1 + \sin(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^2 - \sin(x)^3\right) \end{eqnarray*}$ lauten. smile

Zitat:

Original von hYhzRr

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Hier hast du cos(2x) falsch eingesetzt.

Inwiefern ? Hbae ja quasi die Theoreme nur übertragen.

Aber was ist cos(2x) ?

Hatte nen kleinen Buchstabendreher drinne ^^ Dennoch komme ich nicht auf die vermeintlich richtige Lösung unglücklich

$\begin{eqnarray*} \cos(x) + \frac{1}{2} \sin(2x) + \frac{1}{4} \sin(4x) = \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \frac{1}{2} \sin(2x) \cdot \cos(2x) =\cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) \left(\cos(x)^{2} - \sin(x)^{2} \right) =\cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^{3} - \sin(x)^{3} \cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$

28.06.2016, 14:02

hYhzRr

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RE: Additionstheoreme
Ich glaub ich habe es jetzt ^^. Mein Endergebnis nach dem Zusammenfassen ist ja $\begin{eqnarray*} \cos(x) \cdot \left(1 + \sin(x) + \sin(x) \cdot \cos(x)^2 - \sin(x)^3\right) \end{eqnarray*}$ und die Aufgabenstellung lautet lediglich das sich die Schwingung ebenfalls von $\begin{eqnarray*} \cos(x) \cdot \left(1 + 2 \sin(x) \cdot \cos(x)^2\right) \end{eqnarray*}$ beschreiben lässt. Dies habe ich ja gezeigt indem ich beide Funktionen in Excel übertragen habe und die Werte sich gleichen. ODer ? Freude

28.06.2016, 14:26

willyengland

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Ha, ha, ....
dann sollten sie sich auch ineinander umwandeln lassen.

Auf die Schnelle:

$\begin{eqnarray*} 1+sin+sin(cos^2-sin^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+sin + sin cos2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+sin(1+cos2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+sin(1+2cos^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+2sincos^2 \end{eqnarray*}$

28.06.2016, 14:41

klarsoweit

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RE: Additionstheoreme
Es geht auch so:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) - \sin(x)^3 = \sin(x) \cdot (1 - \sin^2(x)) = \sin(x) \cdot \cos^2(x) \end{eqnarray*}$

Das kannst du nun in deine Lösung einsetzen:

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