Integration durch Überführung in eine Taylorreihe

28.06.2016, 16:18

Rubbles

Auf diesen Beitrag antworten »

Integration durch Überführung in eine Taylorreihe

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

y(x) = $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! e^{-t^2} \, dt \end{eqnarray*}$

Diese Funktion lässt sich anscheinend nicht geschlossen integrieren. Und nun soll ich den Integranden in eine Taylorreihe überführen.

Mein erstes Problem ist, dass ich keinen Entwicklungspunkt gegeben habe. Ich muss also auf die Reihe kommen ohne das Polynom aufzustellen.

Mein zweites Problem ist, dass ich ja um eine Taylorreihe zu erstellen ableiten muss. Ich hab nur keine Ahnung ich ich diesen Monstrum ableite.

Meine Ideen:
Sind leider nicht wirklich vorhanden. Ich hatte mal die Idee einfach die Potenzreihe der Efunktion zu nehmen und für x t^-2 einzusetzen, aber das klingt nach Schwachsinn

28.06.2016, 16:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rubbles
Mein erstes Problem ist, dass ich keinen Entwicklungspunkt gegeben habe.

Vermutlich ist hier Entwicklungspunkt 0 gemeint.

Zitat:

Original von Rubbles
Ich hatte mal die Idee einfach die Potenzreihe der Efunktion zu nehmen und für x t^-2 einzusetzen, aber das klingt nach Schwachsinn

Ist es nicht, es ist die beste Idee, schnell zur gesuchten Reihenentwicklung im Entwicklungspunkt 0 zu kommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Upps, hab mich verlesen - ich hoffe natürlich, dass du nicht $\begin{align*} x=t^{-2} \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} x=-t^2 \end{align*}$ einsetzen willst. Ersteres wäre tatsächlich Schw....n. geschockt

geschockt

28.06.2016, 16:48

Rubbles

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau ich meinte -t^2.

Ja aber ich muss ja die Taylorreihe für jede Funktion neu berechnen. Und die Taylorreihe für diese Funktion muss doch deutlich komplexer sein als für die einfache e-Funktion.

28.06.2016, 16:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rubbles
Und die Taylorreihe für diese Funktion muss doch deutlich komplexer sein als für die einfache e-Funktion.

Mit anderen Worten: Du bist der festen Überzeugung, dass das von mir gesagte nicht stimmen kann? Na dann rechne halt die Taylorreihe über die Ableitungen aus. Aber nicht überrascht sein, wenn am Ende doch dasselbe rauskommt, wie beim simplen Einsetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.06.2016, 16:58

Rubbles

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, aber wie leite ich sowas denn ab ? Dass ist ja keine Standardfunktion a la x^2. Das Integralzeichen und das Parameter verwirrt mich.

28.06.2016, 17:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du ableiten ? Ich denke, du willst integrieren? Erstaunt1

Erstaunt1

Anzeige

28.06.2016, 17:13

Rubbles

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja um die Taylorreihe zu bilden muss ich doch ableiten oder nicht?

die bekomme ich ja indem ich die Ableitungen in die entsprechende Formel einsetze.

28.06.2016, 17:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du hast dich nun für den langen Weg entschieden, statt in die Exponentialreihe einzusetzen. Na dann starte doch mit der ersten Ableitung von $\begin{align*} f(t) = e^{-t^2} \end{align*}$ , strengnach Kettenregel:

$\begin{align*} f'(t) = e^{-t^2}\cdot (-t^2)' = -2t\cdot e^{-t^2} \end{align*}$

Dann die zweite Ableitung, jetzt schon mit Einsatz der Produktregel, und natürlich auch weiterhin der Kettenregel:

$\begin{align*} f''(t) = -2\cdot e^{-t^2} + (-2t)\cdot (-2t)\cdot e^{-t^2} = (-2+4t^2)\cdot e^{-t^2} \end{align*}$ .

Viel Spaß bei den höheren Ableitungen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.06.2016, 18:10

Rubbles

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut bei der fünften Ableitung habe ich das Handtuch geschmissen. Aber das hat gereicht um zu erkennen, dass das Vorzeichen alteriert und die Potenzen ungrader n wegfallen.

Selbst wenn ich den Ansatz nehme und einfach sage, dass ich die Funktion einfach mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{-x^{2n}}{n!} \end{eqnarray*}$ approximiere. Wie baue ich dann das Integral mit ein.

28.06.2016, 18:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rubbles
und einfach sage, dass ich die Funktion einfach mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{-x^{2n}}{n!} \end{eqnarray*}$ approximiere.

Damit liegst du falsch, das wäre die Potenzreihe zu $\begin{align*} -e^{x^2} \end{align*}$ . unglücklich

unglücklich

28.06.2016, 19:13

Rubbles

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, ich meinte natürlich (-t)^2k

28.06.2016, 19:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist auch falsch, denn das ist gleich $\begin{align*} (-1)^{2k}\cdot t^{2k} = t^{2k} \end{align*}$ .

Richtig ist $\begin{align*} (-1)^k\cdot t^{2k} \end{align*}$ . Bitte etwas mehr Sorgfalt beim Umformen! unglücklich

unglücklich

28.06.2016, 19:38

Rubbles

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry. Und wie mach ich jetzt weiter? kann ich jetzt einfach integrieren?

28.06.2016, 20:11

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Potenzreihen darf man in ihrem gesamten Konvergenzintervall gliedweise integrieren.

29.06.2016, 21:02

Rubbles

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ich integriere einfach die Formel der Potenzreihe und komme dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k} * x^{2k+1}}{k!*(k+1)} \end{eqnarray*}$

Und wenn mein Prof mir dann auch grenzen angibt, würde ich diese Reihe nochmal anhand dieser Grenzen integrieren.

Ich bin mir nur noch unsicher bezüglich dem Ansatz. Kann ich in einer Klausur wirklich einfach schreiben, dass ich die Reihe von e^x nehme und das x ersetze? Beziehungsweise wie würde man das mathematisch korrekt aufschreiben.

mfg
rubble

29.06.2016, 21:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rubbles
Das heißt ich integriere einfach die Formel der Potenzreihe und komme dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k} * x^{2k+1}}{k!*(k+1)} \end{eqnarray*}$

Es fehlt nicht nur das Reihensymbol, auch der Nenner ist falsch.

29.06.2016, 21:16

Rubbles

Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss natürlich 2k+1 hin smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »