Potenzreihenansatz

28.06.2016, 17:09

yellowman

Potenzreihenansatz

Hallo zusammen, ich habe folgende DGL gegeben: $\begin{eqnarray*} y''-xy'+y=0 \end{eqnarray*}$ mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0)=0 \end{eqnarray*}$

Diese DGL soll mittels Potenzreihenansatz gelöst werden.

Mein Ansatz war demnach folgender: $\begin{eqnarray*} y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n \end{eqnarray*}$
Diese Potenzreihe habe ich nun 2mal abgeleitet und eingesetzt. Danach habe ich etwas mit dem Laufindex herumgespielt so dass ich die Reihen zusammenfassen kann. Ich bin dann auf folgende Darstellung gekommen.

$\begin{eqnarray*} 2c_2+c_0+\sum_{k=1}^{\infty} x^k[c_{k+2}(k+2)(k+1)+c_k(1-k)]=0 \end{eqnarray*}$

Mittels Koeffizientenvergleich gilt dann:

$\begin{eqnarray*} I.2c_2+c_0=0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} II.c_{k+2}(k+2)(k+1)+c_k(1-k) \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Gleichung erhalte ich erstmal mit der Anfangsbedingung das $\begin{eqnarray*} c_0=1 \end{eqnarray*}$ ist. Damit erhalte ich für $\begin{eqnarray*} c_2=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die zweite Gleichung habe ich nach $\begin{eqnarray*} c_{k+2} \end{eqnarray*}$ aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} c_{k+2}=\frac{-c_k(1-k)}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Ich habe nun einige Werte für $\begin{eqnarray*} k=1,2,... \end{eqnarray*}$ eingesetzt und geschaut ob ich eine Rekursionsvorschrift sehe. Allerdings ist mir das nicht gelungen und deshalb kommt mir die Frage auf, ob meine Rechnung überhaupt soweit korrekt ist?

Vielen Dank!

28.06.2016, 17:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
$\begin{eqnarray*} 2c_2+c_0+\sum_{k=1}^{\infty} x^k[c_{k+2}(k+2)(k+1)+c_k(1-k)]=0 \end{eqnarray*}$

Das scheint mir eher zur DGL $\begin{align*} y''-xy'+{\color{red}y}=0 \end{align*}$ zu gehören. verwirrt

Oben stand aber $\begin{align*} y''-xy'+{\color{red}x}=0 \end{align*}$ , war das ein Schreibfehler? Erstaunt1

28.06.2016, 17:22

yellowman

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von yellowman
$\begin{eqnarray*} 2c_2+c_0+\sum_{k=1}^{\infty} x^k[c_{k+2}(k+2)(k+1)+c_k(1-k)]=0 \end{eqnarray*}$

Das scheint mir eher zur DGL $\begin{align*} y''-xy'+{\color{red}y}=0 \end{align*}$ zu gehören. verwirrt

Oben stand aber $\begin{align*} y''-xy'+{\color{red}x}=0 \end{align*}$ , war das ein Schreibfehler? Erstaunt1

Hallo Hal9000, ja ich habe ihn im Ausgangspost korrigiert.
Danke für den Hinweis.

28.06.2016, 17:28

HAL 9000

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In dem Fall sieht das soweit erst mal richtig aus.

Zitat:

Original von yellowman
und geschaut ob ich eine Rekursionsvorschrift sehe. Allerdings ist mir das nicht gelungen

Verstehe ich nicht - du hast doch mit $\begin{align*} c_{k+2}=\frac{-c_k(1-k)}{(k+1)(k+2)} \end{align*}$ bereits eine solche Rekursionsvorschrift aufgestellt. Oder hast du den falschen Begriff gewählt und strebst eine explizite Koeffizientenformel an? verwirrt

28.06.2016, 17:36

yellowman

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Ich bin davon ausgegangen das man $\begin{eqnarray*} c_{k+2}=\frac{-c_k(1-k)}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$ die Rekursionsformel nennt und für eingesetzte Werte für k sucht man eine Rekursionsvorschrift.
Falls es hier bei der Begriffsbezeichung zu Verwirrungen kommen sollte, erkläre ich dir was ich gemacht habe.

Ich habe für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nun Werte eingesetzt und geschaut ob ich eine Bildungsvorschrift ableiten kann.
Ich habe erhalten:

$\begin{eqnarray*} c_0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_2=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_4=\frac{1}{24} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_5=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_6=\frac{1}{240} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_7=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_8=\frac{1}{2688} \end{eqnarray*}$

Diese Werte habe ich soweit berechnet. Ich bin nun auf der Suche nach einem allgemeinen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ . Ich habe die DGL bereits bei wolframalpha eingegeben aber das Ergebnis bringt mich dort auch nicht weiter.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27-x*y%27%2By%3D0

28.06.2016, 18:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
Ich bin nun auf der Suche nach einem allgemeinen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ .

Genau das drückt der Begriff "explizite Formel" aus. Die Rekursionsvorschrift hingegen besteht aus der Rekursionsformel sowie der Angabe der nötigen Startwerte.

28.06.2016, 19:02

yellowman

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Hast du auch eine Idee wie ich nun weiter mache?

28.06.2016, 19:07

HAL 9000

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Bei $\begin{align*} c_4,c_6,c_8 \end{align*}$ sind die Vorzeichen falsch bei dir...

Mit ein wenig Geduld bei der Analyse der Rekursion findet man den Ausdruck $\begin{align*} c_{2k} = -\frac{1}{2^k(2k-1)k!} \end{align*}$ . Für ungerade Indizes ist $\begin{align*} c_{2k+1}=0 \end{align*}$ , ja.

28.06.2016, 19:53

yellowman

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Hallo, vielen Dank für die schnelle Hilfe. Ich werde meine Vorzeichen nochmal selber kontrollieren. Noch eine Frage, wie bist du bei der Ermittlung des Ausdrucks $\begin{eqnarray*} c_{2k}=-\frac{1}{2^k(2k-1)k!} \end{eqnarray*}$ vorgegangen?
Ich meine, diese Zerlegung des Nenners sieht man doch nicht durch scharfes hinschauen?

Vielen Dank!!!

28.06.2016, 20:29

yellowman

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Ich habe doch noch eine Frage, allerdings lässt sich mein alter Beitrag nicht editieren. Deshalb stelle ich hier meine Frage. Wenn ich die Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0)=1 \end{eqnarray*}$ habe dann habe ich $\begin{eqnarray*} c_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_1=1 \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Gleichung erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} c_2=0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich mir nun meine Formel anschaue erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} c_0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_5=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_6=0 \end{eqnarray*}$
usw....

Was heißt das denn für meine Lösung?

28.06.2016, 22:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
Noch eine Frage, wie bist du bei der Ermittlung des Ausdrucks $\begin{eqnarray*} c_{2k}=-\frac{1}{2^k(2k-1)k!} \end{eqnarray*}$ vorgegangen?

Einfach Schritt für Schritt: Es ist $\begin{align*} c_{2k} = \frac{2k-3}{(2k-1)(2k)}c_{2k-2} \end{align*}$ , übrigens nicht nur für $\begin{align*} k\geq 2 \end{align*}$ sondern auch für $\begin{align*} k=1 \end{align*}$ , also für alle $\begin{align*} k\geq 1 \end{align*}$ .

Das liefert sukzessive

$\begin{align*} c_{2k} = \frac{(2k-5)(2k-3)}{(2k-3)(2k-2)(2k-1)(2k)}c_{2k-4} = \frac{2k-5}{4(k-1)k(2k-1)}c_{2k-4} \end{align*}$

$\begin{align*} c_{2k} = \frac{(2k-7)(2k-5)}{4(k-1)k(2k-5)(2k-4)(2k-1)}c_{2k-6} = \frac{(2k-7)}{8(k-2)(k-1)k(2k-1)}c_{2k-6} \end{align*}$

usw.

$\begin{align*} c_{2k} = \frac{-1}{2^k\cdot 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (k-1)k(2k-1)}c_0 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von yellowman
Wenn ich die Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0)=1 \end{eqnarray*}$ habe dann habe ich $\begin{eqnarray*} c_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_1=1 \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Gleichung erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} c_2=0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich mir nun meine Formel anschaue erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} c_0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_5=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_6=0 \end{eqnarray*}$
usw....

Was heißt das denn für meine Lösung?

Na was heißt es wohl! Warum setzt du nicht einfach ein? Das ergibt $\begin{align*} y = \sum_{k=0}^{\infty} c_k x^k = x \end{align*}$ , es gibt eben auch einfache Lösungen dieser DGL.

28.06.2016, 22:36

yellowman

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Vielen Dank für deine Hilfe. Ich denke hier kann nun dicht gemacht.
Bis zum nächsten mal und nochmal herzlichen Dank!

Wink

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