orthogonale Matrix, Linearität von Abbildung, Cholesky-Faktorisierung, Kern einer hohen Matrix

28.06.2016, 19:28	Mr.Spaten	Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonale Matrix, Linearität von Abbildung, Cholesky-Faktorisierung, Kern einer hohen Matrix Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe ein paar Fragen zur linearen Algebra, auf die ich bisher keine passende Antwort gefunden habe. 1. Wenn $\begin{eqnarray} A^TA = I \end{eqnarray}$ gilt, dann gilt auch $\begin{eqnarray} AA^T = I \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie! Dafür habe ich angenommen, dass die Linksinverse von $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ existiert. Also: $\begin{eqnarray} A^T A= I \Rightarrow A=(A^T)^{-1} \Rightarrow I =A^{-1}(A^T)^{-1} = (AA^T)^{-1} \Rightarrow A A^T = I \end{eqnarray}$ . Ist das so richtig oder habe ich einen Denkfehler gemacht? 2. Für die Abbildung $\begin{eqnarray} D(x) : \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ ist die Drehung im Uhrzeigersinn um den Winkel $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ um die z-Achse. Für D(x) kommt bei mir heraus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt(2)} & \frac{1}{\sqrt(2)} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt(2)} & \frac{1}{\sqrt(2)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich komme nicht weiter bei der Erklärung ob die Abbildung linear ist oder nicht. sin(x) und cos(x) an sich sind ja nicht linear, aber die Drehung ist um einen festen Betrag. Oder muss ich ein Gegenbeispiel für die Nichtlinearität ansetzen? Nur finde ich keinen Ansatz. 3. Kann man beweisen, dass für eine hohe Matrix, als Lösung für deren Kern, immer der Nullvektor herauskommt? Bei einigen Beispielen, war das bei mir immer so, da das LGS überbestimmt ist. 4. Ist eine Matrix positiv definit, wenn das Schurkomplement positiv definit ist? Oder müssen auf jeden Fall die Eigenwerte, oder das Sylvester-Kriterium berechnet werden? Vielen Dank im Voraus, Mr. Spaten Meine Ideen: s.o.
29.06.2016, 00:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: orthogonale Matrix, Linearität von Abbildung, Cholesky-Faktorisierung, Kern einer hohen Matrix 4. Die Matrix $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist offenbar nicht positiv definit, ihr Schurkomplement $\begin{eqnarray} S=1-0=1 \end{eqnarray}$ aber schon. Unter der Voraussetzung, dass M symmetrisch ist, ist M dann und nur dann positiv definit, wenn A und das Schur-Komplement S positiv definit sind (steht jedenfalls so in wikipedia) 3. Betrachte eine nx3-Matrix, deren dritte Spalte die Summe der beiden ersten ist. Der Kern wird von (1,1,-1)^T aufgespannt. 2. Mir ist unklar, was D(x) sein soll. Dein D(x) hängt nicht von x ab. 1. Wenn A eine orthogonale Matrix ist, dann hast du Recht.

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