Relation

05.03.2007, 17:44

nitly

Relation

Hi: Bei welchen der folgenden Relationen $\begin{eqnarray*} R_i \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine Ordnung auf A = {1,2,3}?

$\begin{eqnarray*} R_1 := \{(1,1),(1,2),(2,2)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_2 := \{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_3 := \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3))\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_4 := \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)\} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das jetzt überprüfen?

Eine Ordnung ist ja definiert durch reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Und wie mache ich das jetzt rein rechnerisch?

Mal ein trauriger Versuch zu $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$

reflexiv:
1R1

ja

antisymmetrisch (xRy) und (yRx) <=> x=y

1R2 und 2R1

So klappt das nicht

Kann mir hier jemand auf die Sprünge hfeln bitte?

05.03.2007, 17:48

WebFritzi

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RE: Relation

Zitat:

Original von nitly
reflexiv:
1R1

ja

Und was ist mit der 2?

Zitat:

Original von nitly
antisymmetrisch (xRy) und (yRx) <=> x=y

1R2 und 2R1

So klappt das nicht

Nee, so nicht. Das stimmt. Welche Paare gibt es denn in R1 mit xRy und yRx?

05.03.2007, 18:58

nitly

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RE: Relation

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von nitly
reflexiv:
1R1

ja

Und was ist mit der 2?

Da geht es auch. Aber bei der 3 nicht, weil es keine 3 gibt?

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von nitly
antisymmetrisch (xRy) und (yRx) <=> x=y

1R2 und 2R1

So klappt das nicht

Nee, so nicht. Das stimmt. Welche Paare gibt es denn in R1 mit xRy und yRx?

Nur (2,2)?

05.03.2007, 19:19

Trampeltier

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Hallo,
die Eigenschaften der Relationen sind immer für alle Elemente in der Relation bestimmt. Sie müssen also bei allen Elementen zutreffen.
Wenn wir das Beispiel $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ nehmen, dann sieht man, dass hier die Reflexivität erfüllt ist, denn es gibt das Paar (1/1) und (2/2). Da es kein weiteres Element in der Relation gibt, ist die Relation also reflexiv. So musst du das mit allen Eigenschaften machen.
Ich habe mir angewöhnt, dass ich mir immer erst die Relation einmal aufzeichne, daran sieht man sehr schnell welche Eigenschaften zutreffen. Wenn wir wieder $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ betrachten, dann habe ich 2 Elemente, die ich mit Pfeilen verbinde. Ich habe einen Ringpfeil bei 1 und bei 2, ebenfalls noch einen Pfeil von 1 zur 2. Durch die Ringpfeile sieht man gut, dass die Relation reflexiv ist. Wenn es nicht nur einen Pfeil von 1 zur 2 gäbe, sondern auch noch einen Rückpfeil, dann wäre die Relation auch noch symetrisch.
Rechnerisch kannst du es einfach durch einsetzen der Elemente aufschreiben Augenzwinkern

Ich hoffe mal, dass ich nicht ganz am Thema vorbei bin Spam

Gruß Trampel

05.03.2007, 20:06

nitly

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Und was ist mit dem Element (1,2)?

Ich verstehe leider immer noch nicht, wie ich das mit dem Relationen mache, welche Elemente vergleiche ich denn? Z. B. bei der antisymmetrie, nehme ich da

(1,1) R (2,2) und (2,2) R (1,1) oder was soll man da rechnen?

05.03.2007, 20:18

Trampeltier

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OK Beispiel
$\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ hast du das Paar (1/1), also einen Ringpfeil in meinem Bild. Reflexiv ist definiert als: $\begin{eqnarray*} \forall x\in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} xRx \end{eqnarray*}$ . Also nehmen wir hier x=1. Also muss 1R1 gelten, damit die 1 reflexiv ist, damit die gesamte Relation reflexiv wird, muss es halt für alle Elemente gelten, also auch hier für die 2. In beiden Fällen ist es gegeben.
Bei der Antisymetrie gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x,y\in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} xRy \end{eqnarray*}$ ^ $\begin{eqnarray*} yRx \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ . Bei dem Bild mit den Pfeilen wäre antisymetrisch so, dass es zwar einen Hinpfeil gibt, also z.B. von der 1 zur 2, aber keinen Rückpfeil.
Du vergleichst immer alle Elemente miteinander. Bei Reflexiv immer einzelne Elemente, also die 1, die 2 usw. Bei den anderen Punkten schaust du dir immer die zwei Elemente an, die in Relation zueinander stehen. So musst du bei $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ nicht untersuchen, ob (1,3) sysmterisch oder derartiges ist, denn das ist ja gar nicht in der Relation enthalten.
Gruß Trampel

05.03.2007, 21:57

nitly

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Danke für dein Engagement. Ich habe das Gefühl, dass ich es ein wenig verstanden habe

$\begin{eqnarray*} R_1 := \{(1,1),(1,2),(2,2)\} \end{eqnarray*}$

R_1 ist nicht antisymmetrisch, weil das Element (2,1) fehlt.

Aber bei transitiv muss doch jetzt eigentlich gelten

$\begin{eqnarray*} 1R2 \end{eqnarray*}$ ^ $\begin{eqnarray*} 2R3 \Rightarrow 1R3 \end{eqnarray*}$

Aber da es keine 3 gibt, ist R_1 auch nicht transitiv,

R_1 wäre transitiv, wenn noch die Elemente (2,3), (1,3) vorhanden wären

Also um R_1 zur Relation zu ergänzen

$\begin{eqnarray*} R_1 := \{(1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(2,3),(1,3)\} \end{eqnarray*}$

Oder fehlt dann noch das element (3,3) für die Relation?

06.03.2007, 07:58

Trampeltier

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Also Relationen sind es ja alle Big Laugh

Ich denke mal, dass du sie zu einer Äquivalenz- oder Ordnungsrealtion ergänzen sollst. Dann ist dein Ansatz schon richtig Freude

. Als ich es gelernt habe, gab es immer Stress mit der Transitivität, denn wir haben es alle so verstanden wie du, mit einem "Überbrückungspfeil oder auch Dreieckspfeil". Nun wurde aber gesagt, dass man den Pfeil $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ im Sinne einer eines Subjunktionspfeil aus der Aussagenlogik verstehen kann. Dieser besagt, dass aus etwas falschem, immer etwas wahres folgt. Vor dem Subjunktionspfeil steht bei der ersten Relation etwas falsches, so dass ich sagen würde, dass die Relation auch ohne Ergänzung der zusätzlichen Paare transitiv ist.
Das soll aber bitte noch mal wer Anderes bestätigen Big Laugh

Gruß Trampel

06.03.2007, 09:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von nitly
R_1 ist nicht antisymmetrisch, weil das Element (2,1) fehlt.

Falsch! R_1 ist antisymmetrisch. Wäre R_1 nämlich nicht antisymmetrisch, dann müsste es zwei voneinander verschiedene Elemente x und y geben, so dass xRy und yRx gelten. Das ist aber nicht der Fall.

Zitat:

Original von nitly
Aber da es keine 3 gibt, ist R_1 auch nicht transitiv

Falsch! Wäre R_1 nicht transitiv, dann gäbe es Elemente x,y,z mit zwar
$\begin{eqnarray*} (x,y)\in R_1 \;\text{ und }\; (y,z)\in R_1\;\text{ aber }\; (x,z)\notin R_1. \end{eqnarray*}$
Das ist aber nicht der Fall.

Da R_1 auch reflexiv ist beschreibt R_1 eine Halbordnung auf {1,2,3} aber keine Ordnung, da z.B. 1 und 3 nicht miteinander verglichen werden.

06.03.2007, 10:59

nitly

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Wenn also bei $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ das Element (2,1) noch vorhanden wäre, dann wäre R_1 symmetrisch?

Und was war jetzt mit transitiv? Die Bedingung würde nun so aussehen:
1R1 ^ 2R2 => 1R2

genau deswegen ist sie transitiv?

Manno, das ist so schwer unglücklich

06.03.2007, 11:16

WebFritzi

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Zitat:

Original von nitly
Und was war jetzt mit transitiv? Die Bedingung würde nun so aussehen:
1R1 ^ 2R2 => 1R2

Du bist ein wenig durcheinander, was? Nicht raten! Geh systematisch vor. Transitiv heißt eine Relation, wenn gilt

xRy, yRz ==> xRz.

Passt das zu dem, was du da oben stehen hast?

P.S.: Ich glaube, du hast Transitivität noch nicht so verstanden. Ist eigentlich voll billig und nicht "so schwer" wie du glaubst. Beispiel: Sarah hat einen Sohn, Claudia hat 2 Töchter und Dorothea hat mehr Bälger als Claudia. Wer hat mehr Kinder? Dorothea oder Sarah?

06.03.2007, 15:57

nitly

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Ja, ich versteh leider gar nix mehr. Was muss ich überhaupt vergleichen? Die Tupel mit einem anderen Tupel oder nur die einzelnen Zahlen aus den Tupeln?

06.03.2007, 16:04

WebFritzi

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Verstehe deine Frage nicht ganz. Ich kann dir nur so viel sagen, dass z.B. 1R2 bedeutet, dass das Paar (1,2) ein Element von R ist.

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