Differentialgleichung 2. Ordnung, Partikuläre Lösung finden

29.06.2016, 12:22

Lena95

Differentialgleichung 2. Ordnung, Partikuläre Lösung finden

Hey, ich bin gerade dabei Übungsaufgaben zu Differentialgleichungen 2. Ordnung zu machen.

Allerdings will das ganze noch nicht so richtig klappen verwirrt

Folgende Übungsaufgabe probiere ich gerade:

$\begin{eqnarray*} y''-5y'+6y=x^{2} \end{eqnarray*}$

Ich probiere alles Schritt für Schritt wie in der Vorlesung. Vermutlich gibt es da noch andere Vorgehensweisen, allerdings sind mir die nicht bekannt. Das lösen der homogenen Gleichung ist kein Problem, die partikuläre Lösung macht es ein bisschen schwieriger.

Zuerst soll man Werte finden, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} x^{2}=e^{cx}*(P_{n}(x)*cos(bx)+Q_{n}(x)*sin(bx)) \end{eqnarray*}$

, da wir wohl nur DGL's lösen können, die diesem "Muster" einer Störfunktion entsprechen.

Jedenfalls komme ich da auf:

$\begin{eqnarray*} c=0, P_{n}(x)=x^{2}, Q_{n}(x)=0, b=0 \end{eqnarray*}$

Weiter soll dann überprüft werden, wievielfache (r-fache) Nullstelle $\begin{eqnarray*} c+i*b \end{eqnarray*}$ der charakteristischen Gleichung ist. Die Nullstellen der homogenen Gl. sind 2 und 3, also ist
r=0, weil 0 eben keine Nullstelle ist.

Dann gibt es eine partikuläre Lösung:

$\begin{eqnarray*} y_{p}=e^{cx}*x^{r}*(R_{n}(x)*cos(bx)+S_{n}(x)*sin(bx)) \end{eqnarray*}$

Da in meinem Fall ja c=0, r=0 und b=0 sind, sollte nur noch das Polynom R_n(x) stehenbleiben.

Also:

$\begin{eqnarray*} y_{p}=ax^{2}+bx+c \end{eqnarray*}$

Das ganze dann 2x ableiten um es später einsetzen zu können:
$\begin{eqnarray*} y'_{p}=2ax+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''_{p}=2a \end{eqnarray*}$

Das Ganze in die DGL eingesetzt ergibt:

$\begin{eqnarray*} x^{2}=2a-10ax-5b+6ax^{2}+6bx+6c \end{eqnarray*}$

Und hier komme ich nicht weiter. In der Vorlesung hatten wir nur ein Beispiel, bei dem Rn(x) und Sn(x) Konstanten waren und am Ende viel weggefallen ist, sodass das Lösen relativ trivial war.

Wie man hier aber auf a,b und c kommen soll ist mir nicht wirklich klar. Oder habe ich mich vorher schon verrechnet bzw. etwas falsch gemacht? verwirrt

Hoffe mir kann da jemand helfen.

Schöne Grüße Wink

29.06.2016, 12:42

Lena95

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Okay mit ein bisschen hingucken sieht man dass a=1/6 sein muss. Der Rest ergibt sich dann auch, worauf ich auf a=1/6, b=5/18 und c=19/108 komme, was tatsächlich stimmt smile

Hätte mir vorher auffallen sollen.

29.06.2016, 13:12

klauss

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Zitat:

Original von Lena95
Okay mit ein bisschen hingucken sieht man ...

Wenn man sauber rechnet, nennt man das Koeffizientenvergleich.
Aber die Ergebnisse stimmen ja dann.
Und wie lautet jetzt eigentlich die vollständige allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung?

30.06.2016, 10:17

Lena95

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Danke für den Hinweis mit dem Koeffizientenvergleich smile

Die allgemeine Lösung sollte dann lauten:
$\begin{eqnarray*} y(x)=A_{1}*e^{2x}+A_{2}*e^{3x}+\frac{1}{6}x^{2}+\frac{5}{18}x+\frac{19}{108} \end{eqnarray*}$

30.06.2016, 13:03

klauss

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04.07.2016, 10:37

Lena95

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Hey, ich melde mich nochmal zurück mit einer ähnlichen Frage.

Wenn man auf Gleichungen stößt wie im ersten Beispiel kriege ich einen Koeffizientenvergleich ganz gut hin.

Allerdings gibt es Aufgaben wo die Gleichungen am Ende eine andere Form haben, sodass ich nicht weiß, wie man da weiter vorgeht.

Folgendes Beispiel:
Die DGL:

$\begin{eqnarray*} y''-3y'+2y=x*cos(2x)-2*sin(2x) \end{eqnarray*}$

Es geht mir im Folgenden nur um die partikuläre Lösung für die ein Folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} y_{p}=(Ax+B)*cos(2x)+(Cx+D)*sin(2x) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das ganze 2x ableite und in die DGL einsetze komme ich auf sowas:

$\begin{eqnarray*} -6A*sin(2x)-2(Ax+B)*cos(2x)+4C*cos(2x)-2(Cx+D)*sin(2x)-3A*cos(2x)+6(Ax+B)*sin(2x)-3C*sin(2x)-6(Cx+D)*cos(2x)=x*cos(2x)-2*sin(2x) \end{eqnarray*}$

Ich will nicht ausschließen, dass ich mich da irgendwo verrechnet habe, weil die Rechnung auf meinem Blatt Papier über mehrere Zeilen geht und alles sehr unübersichtlich wird.

Mir geht es aber grundsätzlich nur darum wie man von so einem Typ einer Gleichung auf die Unbekannten schließen kann. Laut Vorlesung soll man auf ein LGS mit 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten kommen.
Verstehe nur nicht so ganz wie man ausgehend von der Gleichung dieses LGS aufstellen soll.

Hoffe mir kann da jemand helfen verwirrt

Schöne Grüße Wink

04.07.2016, 12:10

grosserloewe

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Hallo.

Du vergleichst die linke und rechte Seite bezüglich folgender Ausdrücke:

cos(x)
x *cos(x)
sin(x)
x *sin(x)

Dann bekommst die 4 Gleichungen

smile

04.07.2016, 12:22

klauss

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Ich hab das mal eben durchgerechnet und mein Ergebnis wurde von WolframAlpha bestätigt. Also es ist hier tatsächlich einige Schreiberei, aber grundsätzlich geht es darum:
Fasse die cos(2x)-Terme und die sin(2x)-Terme zusammen, dann sind deren Koeffizienten Ausdrücke in A, B, C, D. Innerhalb der Koeffizienten sind dann extra noch die Summanden mit x und ohne x getrennt zu betrachten.
Bei cos(2x) muß der Gesamtkoeffizient x ergeben, bei sin(2x) muß der Gesamtkoeffizient -2 ergeben.
D. h.
- die Summe der Unbekannten im Gesamtkoeffizient bei cos(2x), die ein x dabei haben muß 1 sein,
- die Summe der Unbekannten im Gesamtkoeffizient bei cos(2x), die kein x dabei haben muß 0 sein,
- die Summe der Unbekannten im Gesamtkoeffizient bei sin(2x), die ein x dabei haben muß 0 sein,
- die Summe der Unbekannten im Gesamtkoeffizient bei sin(2x), die kein x dabei haben muß -2 sein.
Mit diesen Bedingungen erhält man 4 Gleichungen für 4 Unbekannte.

04.07.2016, 12:43

Lena95

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Danke euch beiden, da werde ich mich gleich nochmal dransetzen smile

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