Orthonormalbasis vom C^3 aus Eigenvektoren

29.06.2016, 19:03	Stark	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis vom C^3 aus Eigenvektoren Meine Frage: Hi, gegeben ist folgende Matrix A := $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Aufgabe lautet eine Orthonormalbasis vom $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^3 \end{eqnarray}$ zu finden, welche aus den Eigenvektoren von A besteht. Meine Ideen: Ich habe als erstes natürlich erst einmal die Eigenwerte: $\begin{eqnarray} \lambda_{1} = -2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_{2} = 3 \end{eqnarray}$ und die dazugehörigen Eigenvektoren bestimmt. $\begin{eqnarray} E_{A,-2} = {t\begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, t\in \mathbb{C}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_{A,3} = {t\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, r\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} t,r\in \mathbb{C}} \end{eqnarray}$ . Nun weiß ich nicht mehr weiter. Ich dachte ich benätige 6 linear unabhängige Vektoren als Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^3 \end{eqnarray*}$ , ich habe aber nur 3. Was sehe ich nicht, bzw. was weiß ich nicht? Könnt ihr mir weiterhelfen?
29.06.2016, 22:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst Du darauf, dass Du sechs Vektoren brauchst?
30.06.2016, 09:21	Stark	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Mittlerweile hat bei mir wie ich hoffe die Erkenntnis eingesetzt. 6 Vektoren bräuchte ich wenn der Körper die reellen Zahlen wären. Bei den komplexen Zahlen benötige ich nur drei. Die Basis stimmt dann mit der Standartbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ überein. Sehe ich das richtig? Kann ich in dem Fall wie im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ folgern, dass 3 linear unabhängige Vektoren immer eine Basis bilden?
30.06.2016, 19:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich ist in einem dreidimensionalen Raum eine Menge von drei linear unabhängigen Vektoren eine Basis. Die Standardbasis enthält aber nur einen Eigenvektor von A.
30.06.2016, 20:16	Stark	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ich meinte nur die Standartbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ stimmt dann mit der Standartbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ überein. Die Basis aus den Eigenvektoren von A ist: B := $\begin{eqnarray} (\begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ .
30.06.2016, 20:22	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Und das ist eine Orthonormalbasis?
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30.06.2016, 21:35	Stark	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Das ist: $\begin{eqnarray} (\frac{2}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ .
30.06.2016, 22:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es

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