Schwerpunkt von Kugeloktant

29.06.2016, 21:12	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt von Kugeloktant Hallo Ich hab folgende Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} G \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ eine kompakte Menge. Dann berechnet sich das Volumen V von G durch $\begin{eqnarray} V = \int_G \mathrm{d}(x, y, z) \end{eqnarray}$ . Ist auf G eine stetige Dichtererteilung $\begin{eqnarray} \rho = \rho(x, y, z) \end{eqnarray}$ gegeben, so wird $\begin{eqnarray} M = \int_G \rho(x, y, z) \mathrm{d}(x, y, z) \end{eqnarray}$ als Masse von G bezeichnet. Der Punkt $\begin{eqnarray} (x_S,y_S,z_S) \end{eqnarray}$ , dessen Koordinaten sich gemäß $\begin{eqnarray} x_s = \frac{\int_G x\rho(x,y,z)\mathrm{d}(x,y,z)}{\int_G \rho(x,y,z)\mathrm{d}(x,y,z)}\\<br /> y_s = \frac{\int_G y\rho(x,y,z)\mathrm{d}(x,y,z)}{\int_G \rho(x,y,z)\mathrm{d}(x,y,z)}\\<br /> z_s = \frac{\int_G z\rho(x,y,z)\mathrm{d}(x,y,z)}{\int_G \rho(x,y,z)\mathrm{d}(x,y,z)} \end{eqnarray}$ berechnen, heißt Schwerpunkt von G bezüglich der Dichtererteilung $\begin{eqnarray} \rho(x, y, z) \end{eqnarray}$ . Man bestimme den Schwerpunkt des Kugeloktanten: $\begin{eqnarray} G = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \| x^2+y^2+z^2\leq R^2, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0\right\} \end{eqnarray}$ vom Radius R größer Null und konstanter Dichteverteilung Rho. Meine Idee: Es handelt sich bei G um das Achtel einer Kugel, also muss gelten: $\begin{eqnarray} \int_G \rho\mathrm{d}(x,y,z) = \rho\int_G \mathrm{d}(x,y,z) = \frac{1}{6}\rho\pi R^3 \end{eqnarray}$ Durch Trafo von x_s in Kugelkoordinaten bekomme ich: $\begin{eqnarray} \int_G x\rho\mathrm{d}(x,y,z) = \int_0^{R} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \rho r cos(\phi)cos(\theta)r^2 cos(\theta) \mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}r \\<br /> = \rho\int_0^{R}r^3\mathrm{d}r \int_0^{\frac{\pi}{2}} cos(\phi)\mathrm{d}\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^2(\theta)\mathrm{d}\theta = \frac{\rho\pi R^4}{16} \end{eqnarray}$ Da es ja eine Symmetrie zwischen den einzelnen Koordinaten gibt gilt ja folglich: $\begin{eqnarray} x_s = y_s = z_s = \frac{\rho\pi R^4}{16}\cdot\frac{1}{\frac{1}{6}\rho\pi R^3} = \frac{3R}{8} \end{eqnarray}$ Stimmt das so, oder hab ich mich irgendwo verrechnet?
30.06.2016, 08:56	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt von Kugeloktant Aus meiner Sicht ist das in Ordnung. Vielleicht solltest du aber erwähnen, welche Kugelkoordinaten du nimmst, denn da gibt es durchaus verschiedene Möglichkeiten.

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