Lösungsweg partielle Dgl

30.06.2016, 09:15	freddy90	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsweg partielle Dgl Meine Frage: Hi, ich habe folgende partielle Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \frac{\partial^4 \Psi}{\partial z^4}(\xi,z) - 2 \xi^2 \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2}(\xi,z) + \xi^4 \Psi(\xi,z) =0. \end{eqnarray}$ Ich hätte gerne gewusst, ob mein Lösungsweg so beschritten werden darf. Meine Ideen: Da in der Dgl nur Ableitungen nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auftreten, setze ich das charakteristische Polynom an. Man hat $\begin{eqnarray} p(\lambda)=\lambda^4 -2\xi^2 \lambda^2 + \xi^4=0 \end{eqnarray}$ . Die jeweils doppelten Eigenwerte lauten $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2,3,4}=\pm \xi \end{eqnarray}$ und somit das Fundamentalsystem $\begin{eqnarray} \{e^{\xi z}, ze^{\xi z}, e^{-\xi z}, z e^{-\xi z} \} \end{eqnarray}$ . Die Integrationskonstanten werden im Allgemeinen von $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ abhängen, da $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ eine Funktion von $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ ist. Damit lautet eine Lösung des Problems $\begin{eqnarray} \Psi (\xi,z) = c_1(\xi) e^{\xi z} +c_2(\xi) ze^{\xi z} + c_3(\xi) e^{-\xi z}+ c_4(\xi) z e^{-\xi z} . \end{eqnarray}$ Beste Grüße Freddy
30.06.2016, 09:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sehe ich auch so: Man kann diese DGL als gewöhnliche DGL in Variable $\begin{align} z \end{align}$ und mit Parameter $\begin{align} \xi \end{align}$ auffassen, und die hat dann die von dir hergeleitete allgemeine Lösung.
30.06.2016, 09:42	freddy90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich störe mich gerade noch ein wenig an der Begrifflichkeit. Kann man hier von Fundamentalsystem sprechen, obwohl die Integrationskonstanten von $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ abhängen, also eigentlich überhaupt nicht konstant sind?
30.06.2016, 10:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, man kann $\begin{align} \xi \end{align}$ hier bei der Lösungsfindung als festen Parameter betrachten. Man betrachtet in dem Sinne die DGL $\begin{align} \Psi_{\xi}''''(z) - 2 \xi^2 \Psi_{\xi}''(z) + \xi^4 \Psi_{\xi}(z) = 0 \end{align}$ . Die hat dann eben eine allgemeine Lösung $\begin{align} \Psi_{\xi} \end{align}$ mit frei wählbaren $\begin{align} c_1,\ldots,c_4 \end{align}$ . Für anderes $\begin{align} \xi \end{align}$ dürfen natürlich diese $\begin{align} c_1,\ldots,c_4 \end{align}$ auch anders sein, d.h., wie du richtig angemerkt hast, sind das $\begin{align} c_1(\xi),\ldots,c_1(\xi) \end{align}$ . Wie die dann konkret aussehen, ergibt sich erst anhand der gegebenen bzw. festzulegenden Randwerte der partiellen DGL.
30.06.2016, 10:47	freddy90	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ich es begriffen! Danke dir

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