DGL mit Trennung der Variablen lösen

30.06.2016, 11:46

Schlumph

DGL mit Trennung der Variablen lösen

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll folgendes DGL mithilfe der Trennung der Variablen lösen:
$\begin{eqnarray*} y(t)(1-t^2)y'(t)-t(1-y(t)^2)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zuerst habe ich alles bis auf das $\begin{eqnarray*} y'(t) \end{eqnarray*}$ auf eine Seite gebracht, so dass ich nun $\begin{eqnarray*} y'(t)=\frac{t(1-y(t)^2)}{y(t)(1-t^2)} \end{eqnarray*}$ habe. Nun komme ich jedoch nicht weiter. Ich brauche ja die Form: $\begin{eqnarray*} y'(t)=at*by \end{eqnarray*}$ . Wie forme ich erstmal diese Funktion am besten um?

-Schmlumph

30.06.2016, 11:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Schlumph
Ich brauche ja die Form: $\begin{eqnarray*} y'(t)=at*by \end{eqnarray*}$ .

Diese Einengung ist bei weitem zu stark - das wäre dann sogar eine lineare DGL mit trennbaren Variablen, noch dazu eine sehr spezielle. Das schaffst du hier nicht. unglücklich

Nein, du musst (und kannst!) hier so umformen, dass die Struktur $\begin{align*} g(y)\cdot y' = h(t) \end{align*}$ mit gewissen reellen Funktionen $\begin{align*} g,h \end{align*}$ herauskommt - DAS ist Trennung der Variablen.

30.06.2016, 12:06

Schlumph

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Ich bin nicht sicher, ob ich das so ganz verstanden habe.
Muss ich nun alle ts auf die andere Seite bringen?

Ich habe jetzt erstmal die Funktion so aufgelöst: $\begin{eqnarray*} (y-yt^2)*y'-(t-ty^2)=0 \end{eqnarray*}$
Leider kriege ich die ts von den ys nicht immer getrennt.
Ich denke mal, ich habe dich falsch verstanden. Sämtliche Beispiele, die ich im Internet (vorwiegend YouTube) finde sind immer mit y'=ax*by.

30.06.2016, 23:21

HAL 9000

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Ich weiß wirklich nicht, was du da so anstellst. Von der Originalgleichung ausgehend den Minusterm auf die andere Seite:

$\begin{align*} y\cdot (1-t^2)\cdot y' = t\cdot (1-y^2) \end{align*}$

Jetzt alles mit $\begin{align*} y \end{align*}$ nach links, alles mit $\begin{align*} t \end{align*}$ nach rechts, mit zwei offensichtlichen Divisionen

$\begin{align*} \frac{y}{1-y^2}\cdot y' = \frac{t}{1-t^2} \end{align*}$ ,

schon ist alles getrennt.

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