Beweis zum Flächenintegral

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hamster765 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zum Flächenintegral
Meine Frage:
Es seien integrierbar über sowie

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Meine Ideen:
Es darf ohne Beweis verwendet werden, dass für die berechnung des Flächenintegrals irrelevant ist.

Danke schonmal im Voraus
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man setzt



Dann läßt sich die obere Halbsphäre parametrisieren durch



Einfach die Gleichung der Sphäre nach auflösen, dann siehst du das. Jetzt braucht man die partiellen Ableitungen nach beziehungsweise und berechnet den Betrag ihres Kreuzproduktes. Und wenn die angegebene Formel stimmt, sollte sich dabei



ergeben (das auszurechen ist sozusagen deine eigentliche Aufgabe). Für die obere Halbsphäre hast du dann



Die entsprechende Rechnung machst du dann für die untere Halbsphäre . Dann kannst du wegen



alles zusammenfügen. Daß der Äquatorkreis für die Integration unerheblich ist, darfst du ja verwenden.
hamster765 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme irgendwie nicht auf dein Ergebnis des Kreuzproduktes



Ich verstehe auch leider nicht genau wie du dann auf die Formel der oberen Halbsphäre kommst.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hamster765
Ich komme irgendwie nicht auf dein Ergebnis des Kreuzproduktes


Ich auch nicht. Bei mir kommt noch eine Wurzel um den Nenner herum. Hast du das falsch abgeschrieben?

Deine Rechnung ist falsch. Kettenregel!

hamster765 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt mein Fehler aber ich komme jetzt auf



und leider ist mir immer noch nicht klar wie du dann auf die Formel für die obere Halbsphäre kommst
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt das auf einmal her? Dieser Bezeichner wurde nirgendwo in der Aufgabe oder von dir festgelegt. In der Aufgabe gibt es nur und die Zusammenfassung der ersten beiden Koordinaten zu und aller drei Koordinaten zu als Variable. (Falls du dich auf meinen vorigen Beitrag beziehst, wollte ich dir nur deinen Fehler anhand einer Funktion einer reellen Variablen klar machen. Ich hätte vielleicht besser statt geschrieben. Jedenfalls ist nicht das deiner Aufgabe gemeint.)
 
 
hamster765 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hätte das t ein u sein sollen, ich weiß aber jetzt noch nicht wie ich dann auf dein Ergebnis des Kreuzproduktes komme.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig ist



Jetzt berechne analog und dann den Betrag des Vektorproduktes. Ein bißchen Algebra mußt du natürlich schon investieren.
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