Kosinusgleichung

30.06.2016, 19:23

willyengland

Kosinusgleichung

Wie löst man so eine Gleichung?

$\begin{eqnarray*} cos(x)=-cos(2x) \end{eqnarray*}$

Ich weiß durch Ausprobieren, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{3} \end{eqnarray*}$ herauskommt, aber wie löst man das allgemein?

30.06.2016, 19:35

Mathema

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} \cos(2x) \end{eqnarray*}$ ? Kannst du das umschreiben?

30.06.2016, 19:48

willyengland

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Verstehe nicht.
Was meinst du?

30.06.2016, 20:03

Mathema

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Nun - es gilt z.B. (Doppelwinkelfunktion):

$\begin{eqnarray*} \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$

Kennst du das auch für die Kosinusfunktion? Wenn nicht bilde die Ableitung.

30.06.2016, 20:18

willyengland

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Ach so, die Additionstheoreme.
Damit habe ich schon rumgespielt, aber nichts hinbekommen.
Lösung willkommen.

Es geht mir nicht so sehr um diesen speziellen Fall.
Da kann man evtl. mit den Additionstheoremen etwas tricksen, sondern allgemein, also z.B. auch sowas:

$\begin{eqnarray*} cos(x) = -cos (0,17x) \end{eqnarray*}$

30.06.2016, 20:32

Mathema

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Na prima - immer toll wenn auf einmal sich die Aufgabe ändert... unglücklich

Dann so:

$\begin{eqnarray*} \cos(x)+\cos(y)=2 \cos( \frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) \end{eqnarray*}$

Das kannst du auf beide Aufgabe anwenden. Viel Spaß.

Wink

30.06.2016, 20:44

willyengland

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Könntest du bitte mal eine Aufgabe zuende rechnen, damit ich sehe, wie es geht?
Ich bekomme nichts hin.
Wie komme ich auf x?

30.06.2016, 21:21

Mathema

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Ich habe dir doch Ansätze genannt - was hindert dich denn daran, mal einen zu verfolgen?

Nehmen wir die erste Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \cos(x)=-\cos(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(x)+\cos(2x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cos(\tfrac{3}{2}x)\cos(-\tfrac{1}{2}x)=0 \end{eqnarray*}$

Satz vom Nullprodukt:

$\begin{eqnarray*} \cos(\tfrac{3}{2}x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z:=\frac{3}{2}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(z)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1=\arccos(0)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2=-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Und damit:

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{-\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Nutzen wir noch die Periode ergibt sich eine erste Menge:

$\begin{eqnarray*} \{\tfrac{\pi}{3}(4k+1) \vee \tfrac{\pi}{3}(4k-1), k \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray*}$

Den zweiten Faktor kannst du machen... Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x_3=\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4=-\pi \end{eqnarray*}$ und mit der Periode die zweite Menge:

$\begin{eqnarray*} \{\pi(4k+1) \vee \pi(4k-1), k \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray*}$

Vereinigen wir noch die Mengen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{L}=\{\pi(2k+1) \vee \tfrac{\pi}{3}(6k+1) \vee\tfrac{\pi}{3}(6k-1), k \in\mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$

Dein $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{3} \end{eqnarray*}$ aus dem Startbeitrag kommt somit ziemlich alleine daher...

30.06.2016, 21:35

willyengland

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Vielen Dank!

Zitat:

Satz vom Nullprodukt:

Das war der "Trick", den ich nicht gesehen habe.

01.07.2016, 07:53

HAL 9000

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Andere Methode, ohne Additionstheoreme, direkt basierend auf Symmetrie+Periodizität der Kosinusfunktion: Für die gilt nämlich

$\begin{align*} \cos(u)=\cos(v) \;\Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{Z}: \left( u=v+2k\pi \,\vee\,u=-v+2k\pi \right)\qquad (*) \end{align*}$

Wir betrachten nun $\begin{align*} \cos(x)=-\cos(2x)=\cos(2x+\pi) \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} u=x \end{align*}$ und $\begin{align*} v=2x+\pi \end{align*}$ , mit (*) ergibt dies dann

$\begin{align*} \exists k\in\mathbb{Z}: \left( x=2x+(2k+1)\pi \,\vee\,x=-2x+(2k-1)\pi \right) \end{align*}$ .

Die zweite Variante ergibt $\begin{align*} x = \frac{\pi}{3}(2k-1) \end{align*}$ und enthält nebenbei auch alle Lösungen der ersten Variante als Spezialfälle, und zwar für $\begin{align*} k=-3k'-1 \end{align*}$ .

$\begin{align*} \mathbb{L} = \left\{ \frac{\pi}{3}(2k-1) \bigm| k \in\mathbb{Z} \right\} \end{align*}$ .

Und genau hinschauen - das ist dasselbe $\begin{align*} \mathbb{L} \end{align*}$ wie oben, nur nicht so überkompliziert geschrieben. Augenzwinkern

01.07.2016, 12:59

willyengland

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Vielen Dank HAL!
Sehr schön erklärt mit der Periodizität.
Drüber nachgedacht hatte ich schon, aber konnte es nicht formulieren.

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