Kern Bild und Basen

30.06.2016, 20:48	Dieter P	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern Bild und Basen Meine Frage: hallo ich habe eine Frage und zware ob ich die Folgende Aufgabe richtig gelöst habe. Aufgabe: Gegeben sei eine Abbildung mit $\begin{eqnarray} T=a\vec{x} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 2& 1 \\ 1& 3& 1& \\ 1& 2& 2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ 1.)Berechnen Sie Kern(T) und Bild(T) und geben sie die entsprechenden Dimensionen der beiden Räume an. 2.) Prüfen Sie, ob T bijektiv ist. 3.) Berechnen Sie zu T die Base der Eigenräume Meine Ideen: Berechnung des Kerns: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 &2& 1& \\ 1& 3& 1& \\ 1& 2& 2 & \end{pmatrix} =>2Z-3Z \begin{pmatrix} 2 &2& 1& \\ 0& 1& -1& \\ 1& 2& 2& \end{pmatrix} =>3Z-1/21Z \begin{pmatrix} 2 &2& 1& \\ 0& 1& -1& \\ 0& 1& 1,5& \end{pmatrix} => 3Z - 1Z \begin{pmatrix} 2& 2 &1\\ 0& 1& -1& \\ 0& 0& 2,5& \end{pmatrix} => <br /> Kern\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} => Dim(Kern(0) = 0<br /> \end{eqnarray}$ Berechnung des Bildes: $\begin{eqnarray} <br /> Bild= {(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix})} <= \end{eqnarray}$ da die Spaltenvektoren linearunabhängig sind, ist die Dimension des Bildes 3. Defekt = Dimension der Matrix - Rang 0 = 3 - 3 Die Matirx ist bijektiv da jeder vektor des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ ist im Bild, weil das Bild eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ bildet.
30.06.2016, 21:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern Bild und Basen Bisher alles richtig
03.07.2016, 17:31	Dieter P	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern Bild und Basen Hallo, ich habe jetzt zu der Aufgabe auch die Basen der Eigenräume berechnet, wäre nett, wenn mir jemand dazu auch ein Feedback geben könnte. $\begin{eqnarray} <br /> det(A-\lambda E) = 0<br /> \begin{vmatrix} 2 -\lambda & 2 & 1 \\ 1 & 3-\lambda & 1 \\ 1 & 2 & 2-\lambda \end{vmatrix} =>^{2Z - 3Z} \begin{vmatrix} 2 -\lambda & 2 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & -1+\lambda \\ 1 & 2 & 2-\lambda \end{vmatrix} =>^{3S + 2S} \begin{vmatrix} 2 -\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 2 & 4-\lambda \end{vmatrix} => (1-\lambda) \begin{vmatrix}2-\lambda & 3 \\ 1 & 4 - \lambda \end{vmatrix} =>^{2Z - 1Z} (1-\lambda) \begin{vmatrix}2-\lambda & 3 \\ -1 + \lambda & 1 - \lambda \end{vmatrix} =>^{1S + 2S}(1-\lambda) \begin{vmatrix}5-\lambda & 3 \\ 0 & 1 - \lambda \end{vmatrix} => (1-\lambda)(5-\lambda)(1-\lambda) = 0 =><br /> \lambda_{1,3} = 1 <br /> \lambda_{2} = 5<br /> \end{eqnarray}$ Zu Eigenwert 1 $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 -\lambda & 2 & 1 \\ 1 & 3-\lambda & 1 \\ 1 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix} =^{\lambda = 1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} <br /> => \end{eqnarray}$ unendlich viele Möglichkeiten $\begin{eqnarray} <br /> => 1x + 2y + 1z = 0 <=> x = -2y - z<br /> => \vec{x} = \begin{pmatrix} -2y - z \\ y \\ z \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> <br /> => \vec{v}_{1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \wedge \vec{v}_{2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Linear unabhängig $\begin{eqnarray} <br /> B:={\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} } \end{eqnarray}$ ist Basis des Eigenraumes für EW = 1 Zu Eigenwert 5 $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix} =^{3Z-2Z} \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix} =^{1Z-2} \begin{pmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix} => y = x \wedge y = z => \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} => \end{eqnarray}$ x,y,z bilden das Kanonische Einheitssystem, was linear unabhänig ist und somit die Basis des Eigenwertes darstellt $\begin{eqnarray} <br /> B:=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$
03.07.2016, 18:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern Bild und Basen Übrigens kannst du auch selbst kontrollieren, indem du die Matrix mit deinen berechneten EV multiplizierst.
03.07.2016, 22:38	Dieter P	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern Bild und Basen Achso das wusste ich nicht danke für den Tipp

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