Vielfachheit von Eigenwerten einer symmetrischen Matrix

30.06.2016, 22:44	Stark	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielfachheit von Eigenwerten einer symmetrischen Matrix Meine Frage: Gegeben ist die Matrix A = $\begin{eqnarray} (a_{k, l}) \in \mathbb C^{n,n} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \\a_{k, l} =\left\{\begin{array}{ll} 0, & k = l \\<br /> 1, & sonst\end{array}\right. \end{eqnarray}$ . Man soll zeigen, dass a) $\begin{eqnarray} \lambda _{1} = -1 \end{eqnarray}$ ist (n - 1) - facher Eigenwert von A, b) $\begin{eqnarray} \lambda _{2} = (n - 1) \end{eqnarray}$ ist einfach Eigenwert von A, und bestimme jeweils eine Basis der Eigenräume. Meine Ideen: Ich dachte da an einen Beweis mit vollständiger Induktion. Induktionsanfang: für n = 2 gilt: bilde charakteristisches Polynom: $\begin{eqnarray} det(A-\lambdaE_{2}) = det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = (\lambda + 1)(\lambda - 1) \end{eqnarray}$ Damit wäre die Behauptung für n = 2 bewiesen. Induktionsvoraussetzung: Sei $\begin{eqnarray} n \geq 2 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ beliebig. Dann folgt für das charakteristische Polynom: $\begin{eqnarray} det(A-\lambdaE_{n}) = det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & ... & 1\\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & ... & -\lambda & ... \\ 1 & 1 & ... & -\lambda \end{pmatrix} = (\lambda + 1)^{n - 1}(\lambda - 1) \end{eqnarray}$ Jetzt kommt der knifflige Teil: Induktionsschluss: $\begin{eqnarray} det(A-\lambdaE_{n+1}) = det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & ... & 1\\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & ... & -\lambda & ... \\ 1 & 1 & ... & -\lambda \end{pmatrix} \in \mathbb C^{n+1, n+1}= -1-\lambda* det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & ... & 1\\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & ... & -\lambda & ... \\ 1 & 1 & ... & -\lambda \end{pmatrix} \in \mathbb C^{n, n} + Rest = \lambda(\lambda + 1)^{n - 1}(\lambda - 1) + Rest \end{eqnarray}$ Jetzt frage ich mich ob das überhaupt in die richtige Richtung geht und falls ja, was passiert bei dem Rest? Ich weiß wie der Laplace´sche Entwicklungssatz funktioniert, aber für n beliebig habe ich einfach keine Idee.
30.06.2016, 22:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vielfachheit von Eigenwerten einer symmetrischen Matrix Sei B die $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Matrix, deren Elemente alle gleich 1 sind. Dann ist A=B-E. Wie hängen also die EW von A und B zusammen? Die EW von B lassen sich bequem bestimmen.
30.06.2016, 23:26	Stark	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vielfachheit von Eigenwerten einer symmetrischen Matrix Danke für deine Antwort nur habe ich leider immernoch nicht den erhofften Durchblick. Wo ist für mich der Unterschied ob ich auf der Hauptdiagonalen der Matrix $\begin{eqnarray} -\lambda \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1-\lambda \end{eqnarray}$ stehen habe? Wieso ist die Version mit $\begin{eqnarray} 1 - \lambda \end{eqnarray}$ bequem im Bezug auf Eigenwerte? Ich muss doch so oder so die Determinate berechnen?
30.06.2016, 23:36	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vielfachheit von Eigenwerten einer symmetrischen Matrix Musst du eben nicht. Die Eigenwerte von B kann man direkt angeben Dazu muss man zwei Dinge überlegen 1. Die Spaltensummen sind alle gleich. Was sagt das über die Summe der Spalten aus? 2. Die Matrix B hat offensichtlich Rang 1. Was sagt das über den Kern aus?

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