Algebr. Strukturen - Polynome mit Koeffizienten

01.07.2016, 02:40

martini3k1

Algebr. Strukturen - Polynome mit Koeffizienten

Meine Frage:
Hallo,
ich bereite mich gerade auf meine Mathe-Klausur vor und verstehe folgende Aufgabe nicht:

Gegeben sei $\begin{eqnarray*} Z_{2}[x] x^4\ +1 \end{eqnarray*}$ die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ mit der üblichen Addition in $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ und der Multiplikation modulo $\begin{eqnarray*} ( x^4\ +1) \end{eqnarray*}$ .

Geben Sie mindestens 7 Elemente dieser Menge an.

So der exakte Wortlaut der Aufgabe. Jetzt meine Frage: Ist das "die Menge der Polynome..." ein relativer Satzeinschub? Ich verstehe die Aufgabe nicht... unglücklich

Vielen Dank vorab und viele Grüße
Martin

Meine Ideen:
Sieben mal für x einen ganzzahligen Wert >=2 einsetzen und Polynom durch mod(x^4+1) berechnen?

01.07.2016, 03:02

martini3k1

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Was ich vergessen hatte (kann meinen Beitrag nicht mehr editieren):

Als Ergebnis soll $\begin{eqnarray*} Z_{2}[x] x^4\ +1 = 0, 1, x, x+1, x^2, x^2 \ +1, x^3, ... \end{eqnarray*}$ rauskommen. Aber wie kommt man drauf?

01.07.2016, 13:16

Stark

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Hi,

das in der Menge nur Polynome vom Grad kleiner 4 enthalten sind ist klar? Wie sieht denn die Standartbasis für $\begin{eqnarray*} \Pi_3[\mathbb R ] \end{eqnarray*}$ aus? Wie sieht dann eine Basis für den $\begin{eqnarray*} \Pi_3[\mathbb Z_2 ] \end{eqnarray*}$ aus? Wenn du das hast, dann kannst du dir auch 7 Polynome bestimmen. Hilft dir das weiter?

01.07.2016, 14:31

martini3k1

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Hi,
vielen Dank schon mal für deine Hilfe.

Deine erste Frage hilft mir insofern schon mal weiter, dass es den Zahlenraum eingrenzt (sofern ich es richtig verstehe^^)..
Du meinst praktisch, dass nur Polynome bis x^4 im Lösungsweg enthalten sein können, richtig? (sagt man so bestimmt nicht, weiß nur leider nicht wie ich es besser formulieren kann)

Das mit den Basen kann ich mir aktuell nur schwer vorstellen, hast du hierzu einen Link der mich auf die richtige Spur bringt?

VG Martin

01.07.2016, 14:32

Elvis

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Die Schreibweise ist nicht korrekt. Du meinst bestimmt den Quotientenring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[x]/(x^4+1) \end{eqnarray*}$ des Polynomrings $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[x] \end{eqnarray*}$ über dem Primkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ modulo dem Hauptideal $\begin{eqnarray*} (x^4+1)=(x^4+1)\cdot\mathbb Z_2[x] \end{eqnarray*}$
Die Elemente sind Restklassen, nicht Polynome. In der Tat enthält jede Restklasse genau einen Vertreter, der ein Polynom mit Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \overline 0,\overline 1 \end{eqnarray*}$ und Grad kleiner als 4 ist. Wegen $\begin{eqnarray*} \overline {x^4+1}=\overline 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \overline {x^4}=\overline {-1}=\overline 1 \end{eqnarray*}$

01.07.2016, 17:01

Stark

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RE: Algebr. Strukturen - Polynome mit Koeffizienten
Gebe "Basis Polynom" in die Suchmaschine deiner Wahl ein. Besonders gute Literatur zu dem Thema kann ich dir leider nicht empfehlen.

Alternativ als Orientierung Standartbasis des $\begin{eqnarray*} \Pi_3 : (1, x, x^2, x^3) \end{eqnarray*}$ . smile

01.07.2016, 18:15

Leopold

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RE: Algebr. Strukturen - Polynome mit Koeffizienten

Zitat:

Original von Stark
Alternativ als Orientierung Standartbasis

Grauenhaft.

Zitat:

Original von Stark
Gebe "Basis Polynom" in die Suchmaschine deiner Wahl ein.

Entsetzlich.

01.07.2016, 20:52

martini3k1

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Ihr geht ja nett miteinander um^^ bin jedenfalls froh, dass mir überhaupt jemand hilft (wie sich unschwer erkennen lässt, bin ich ja alles andere als ein Mathe-Crack LOL Hammer

)

Wie auch immer... ich werde gleich eure Ratschläge befolgen und mich dann nochmal an die Aufgabe setzen.

Nochmals vielen Dank für eure Hilfe
Martin

01.07.2016, 22:05

Stark

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RE: Algebr. Strukturen - Polynome mit Koeffizienten
@Leopold

Lieber Leo,

vielen Dank für deine konstruktive Kritik. Das hat mich gleich dazu ermuntert entsprechende Fachliteratur aufzuschlagen, um meinen Wissensstand entsprechend der von dir angemerkten Fehler zu korrigieren. smile

LG.

01.07.2016, 22:13

Elvis

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Es müssten Polynome wie $\begin{eqnarray*} x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ vorkommen, und wenn man Terme mit 0 oder 1 als Koeffizient hat, sind das 16 verschiedene (oder nicht?).
Warum sind nur 7 Elemente gesucht ?

Nachtrag: Interessanterweise ist dieser Ring kein Körper, weil das erzeugende Polynom des Hauptideals nicht irreduzibel ist. Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} x^4+1\equiv (x^2+1)^2\equiv (x+1)^4 (mod 2) \end{eqnarray*}$ . Dennoch bin ich der Meinung, dass der Ring genau wie jeder Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[x]/(f(x)) \end{eqnarray*}$ mit einem irreduziblen Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ vom Grad 4 genau $\begin{eqnarray*} 2^4=16 \end{eqnarray*}$ Elemente hat. Ist jemand anderer Meinung ?

02.07.2016, 11:48

martini3k1

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Hallo nochmal,
habe mal einen Screenshot von der Aufgabenstellung gemacht. Ich verstehe es wirklich nicht.
Ich weiß ehrlich gesagt nicht mal wie das modulo zu verstehen ist. Bezieht sich das auf die Addition und die Multiplikation oder nur auf die Multiplikation?
Und was ist hier eine "übliche Addition"? Eine Verknüpfung zweier ganzer Zahlen (Elemente) die wieder ein ganzzahliges Element hervorbringt. Gut... Aber wie hilft mir diese Erkenntnis nun? Man setzt für x also eine ganze Zahl größer-gleich bzw. kleiner-gleich 2 ein und dann steht bei mir x^4+2 und schon verlässt mich jede Idee wie die weitere Vorgehensweise ist. :/

Falls sich jemand erbarmt hier wäre besagter Screenshot:
https: //i.imgur.com/E2oLorp.png
(darf noch keine Links posten)

Viele Grüße
Martin

02.07.2016, 12:01

Elvis

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Ist alles ganz einfach. In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2=\{0,1\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2=0 \end{eqnarray*}$ . In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[x]/(x^4+1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^4+1=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x^4=1 \end{eqnarray*}$ . Das sind die Spielregeln, so funktioniert "modulo".

Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} (x^3+x)+(x^3)=2x^3+x=0x^3+x=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x^3+x)*(x^3)=x^6+x^4=x^2*x^4+1*x^4=(x^2+1)*x^4=(x^2+1)*1=x^2+1 \end{eqnarray*}$

02.07.2016, 12:15

martini3k1

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Danke für deine Hilfe und dass du mich noch nicht aufgegeben hast. smile

Heißt das ich schaue wann die modulo-Operation mit 2 den Rest 0 liefert?

02.07.2016, 12:47

Elvis

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Nicht nur 2=0 ist wichtig, noch wichtiger ist $\begin{eqnarray*} x^4=1 \end{eqnarray*}$ , denn das ist der Grund, warum nur Polynome bis zum Grad 3 vorkommen. Sieh dir das 2. Beispiel an, bei Multiplikation von Polynomen wird der Grad im allgemeinen größer, modulo $\begin{eqnarray*} x^4+1 \end{eqnarray*}$ aber nicht.

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